II. La formule ordinaire est

îT 1 r 1 1 1 1

sinpT p u—p* 4 — p* 9 — p' J

Par conséquent,

CCXlXXTII. — Transformation d'une somme

en produit.

(Avril 1887.)

L Le Mémoire intitulé : Sur quelques intégrales définies (*), contient la formule, très générale,

__ r(a + p — y)r(r — «)r(r — p)r(aH-n)r(p-»-n) "~ r(a)r(p)r(r -4- w)

(*) Académie de Belgique, octobre 1885.

lU)

dans laquelle

Posons :

p ^ qz=n.

La relation (U) devient

IL On a :

r(6-lrC)

(a-*-6-hc-»-qf)(a-h6-*-c-hgH-1 )...(a-h6-*-c-+-«— 1 ) = (a ■+- c)(a -f- c -+- i) ... (a -♦- c 4- « — i),

= (6 H-c)(6-hc-+- 4). ..(6 ^ c -hn — i) (*).

(*) D'après la première de ces formules, le produit

a(a-i-l)...(a-f-g — i) doit être remplacé par 1, lorsque q = 0. D'après la quatrième, le produit (aH-6-4-c-t-g)(a-hft-t-c -hg-t-l)...(a-t-6-i-c-hn — 1),

doit être remplacé par 1, lorsque q = n. Etc.

Donc l'égalité (1) se réduit à

Cette relation permet, on le voit, de transformer, en produits fort simples, une infinité de sommes (*). Mais on peut la considérer d'un autre point de vue.

III. Changeons c en z, et appelons F(a, 6, z) le premier membre. Nous aurons ce résultat curieux :

Les racines de l'équation

F(a,6,5) = 0, sont

De plus, si a = b, ces racines sont égales deux à deux; et F(a, h, z) est un carré,