VIII. Cas particulier remarquable. — Dans (A), supposons

a= b = c=^ \. Une réduction évidente donne cette autre relation :

(i . 2 . 3 ... nf H- w(n H- 2)(1 . 2 . 3 ... n — i)*

fH\t

Ainsi le premier membre, très complexe, égale un carré fort simple (*).

Soit, par exemple, n == 5. On trouve

ou

ce qui est exact.

€€XX:!iLTIII. — Beprésentatlon des intésraleft

elliptiques.

{Mar^ 4 885.)

I. Intégrale de première espèce. — Considérons la surface dont réquation est

(a* 4- z')x' 4- (6' 4- z')y' = aV.

(*) La démonstration directe, de Tégalité (B), n'offre aucune difficulté. Elle résulte de cette remarque :

La formule connue

%i = x I ABdz, (2)

donne :

r = 7roV / . (5)

'•* (il

/•* (il (4)

Prenant

z = 6tg(p, (5)

on transforme ainsi la différentielle :

l/a^cos^ç -♦- fe^sin*9 al^l — e*sin*ç

Par suite,

V = Ta6*F(r, 9), V = Ta6*F,(c). (6)

Donc, SI un corps est limité par la surface (1), par le plan xy et par un plan parallèle à celui-ci, le volume de ce corps est représenté, à un facteur près, par l'intégrale de première espèce.

II. Intégrale de deuxième espèce, — Le problème est un peu moins simple. Après quelques tâtonnements, j'ai été conduit à réquation

Il en résulte :

puis, par la formule (2),

^. r' dz /a* -t- z*

(*j Les %nes de niveau de la nouvelle surface sont, comme celles de la première, des ellipses.

(70) La transformation (S) donne ensuite :

v = TL^f^d<fl^T^^7^ = J-^E{e,tf), (9)

V = /tm I? = TT '-^ E, (e). (10)