I. Soit réquation du deuxième ordre

xyy" ^ axy'* -*- byy' = 0. (♦)

emploie la transformation connue :

en résulte

uy' — yu'

is,

, au lieu de la proposée :

Cette équation, comparée à

tt -4- Pm = Q,

suppose

Par conséquent, après une réduction évidente,

11 = car* -4-^ -X 0; . (4)

puis :

y (J — 6)cx* -*- (a -t- 4)a;'

dx

II. Dans une infinité de cas, l'intégrale peut être obtenue sous forme finie. Soient, par exemple,

a=i, 6 = 2. Le second membre devient

/dx \ r cdx I , 1 ^ CJT — 2

(ex — 2)x / tjcx—'t 2^ 2^ X

Donc

OU, ce qui ^st équivalent,

III. Si 6 = 1 , les formules (4), (6) sont illusoires. Mais alors rintégrale de l'équation (3) est

M = X [c -4- (a -♦- 1 ) ^ xj ;

(*) Comme vérification, on peut multiplier les deux membres par «~^ Si Ton prend ensuite les dérivées, on retrouve Téquation (5).

(72) en sorte que

dx

[c^{a^\)J^^xy

et, sauf le cas de a = — 1, il est impossible d*intégrer.