II. Exemple. — On satisfait aux conditions (2) en prenant

(*) Omise dans la Théorie analytique des lignes à double courbure. (**) Loc. cit ; pp. 15 et 16.

Il résulte, de ces valeurs :

c'a!' — aV ==

puis ou

conformément à Ténoncé.

Addition. — {Mai 1887.)

m. Pour éviter les fractions, on peut remplacer la première des conditions (2) par celle-ci :

a» -4- 6» -f. c» = ft» (*).

Alors (A) devient

Si, par exemple, on suppose :

a = 2, 6 = 2, c = 1, fc = 3;

on trouve

(*) Prenant a et 6 arbitrairement, on dccomposc a* -4- 6* en deux facteurs, de même parité : l'un est A: -4- c; l'autre, k — c j etc.

€^JLLSW. — Conséquences dv Problème de MaltettI*

{Octobre 1874) (*),

I. En évaluant, de deux manières différentes, Taire du triangle ABC (**), on est conduit à cette proposition :

Si trois quantités f, g, h satisfont à la condition

fg-^gh-^hf=i r), (I)

elles rendent identique l'équation

IL Dans cette identité (2), dont la vérification est plus longue que difiicile :

1— tgiA • I— tgiB

1 H- tgiA i -♦- IgiB

i -H IgiC

Elle exprime donc une relation entre

tgiA, tgiB, tgiC Toutes réductions faites, cette relation se réduit à celle-ci tgiAtgiBtgiC— (tgiA IgiB + IgiBtgiC + tgiCigiA)

( (4) — (tgiA + tgiB + tgiC)-f- 1=0, j ^^

laquelle est connue.

(') Complément .de la Note LXXII.

(**) Loc. cit,

r*) Loc cit.

f^) Loc. cit.

Addition. — (^Février i886.)

III. Théorème d'Arithmétique. — 5t f, g, h sont trois entiers, satisfaisant à la condition (1), la qtAantité

2(i-/?)(i-'^)(i-^n(«-^sf),

est divisible par

IV. Application géométrique. — Remplaçons /*, 9, A par x, j/, z ; et considérons les équations :

a?^ H- J/« H- JTX = 1 ,

2(1-xy)(1-ie)(i-+.x)(i + t/)=:0.

La combinaison des deux conduit, d'après la proposition cidessus (I), à I equatioh

laquelle se décompose en

* L'équation (5) représente un hyperboloïde de révolution (à deux nappes), dont Taxe est la droite isogonale. L'équation (7) représente un plan perpendiculaire à cette droite, et, par conséquent, parallèle aux plans cycliques de l'hyperboloïde. Mais, comme on déduit, des équations (2), (5) :

le plan ne coupe pas l'hyperboloïde.

Quant aux équations (6), (8), elles représentent deux surfaces

"S, S, telles, que chacune est située de la même manière, relativement aux trois plans coordonnés.

On vient de voir que l'équation (8) est une conséquence des équations (5), (6). Donc :

La ligne, suivant laquelle Fhyperboloïde coupe la surface S, est située sur la surface 2(*).

V. Remarqua. — Trois quantités f, g, h ne peuvent satisfaire^ à la foiSy aux conditions

fg^gh^hf=i, f-^g+h = -i n.

CCXIiT (***). — Sur la projeetlon stéréosi'apliiqiie.

(Mars 1874.)

Théorème I. — Un ellipsoïde étant donnée on prend pour TABLEAU t^np/an diamétral AOB , et, pour point de vije V, l'une des extrémités du diamètre conjugué de AOB. Cela posé, les perspectives de toutes les coniques C, tracées sur Vellipsoïde, sont semblables à la section diamétrale AOB (^),

Corollaire. — Si AOB est une section circulaire (auquel cas V est un ombilic), les perspectives de toutes les coniques G sont des cercles c.

(*) Soit P un plan cyclique de rhyperboloïde. Il coupe Pangl** trièdre <les coordonnées positives, suivant un triangle équilatcral; et il coupe les surfaces S, S, suivant deux courbes «, a, telles, que chacune est située de la même manière, relativement aux côtés du triangle. Cela posé, si M est un point du plan P, commun au parallèle de Thypcrboloïde et à la courbe c, M appartient à la courbe <;.

{**) On peut se rappeler qu'à notre point de vue, les imaginaires ne sont pas des quantités. (Cours d'Analyse de l* Université de Liège , p. 167).

(***) Tirée des Comptes rendus,

{") Apres rimpression, j'ai appris que ce théorème appartient, en partie, au savant Hachette, mon ancien Professeur.

Théorème II (Mêmes hypothèses que dans le Corollaire). — Considérons , dans le plan du tableau, un système orthogonal formé d'une infinité de cercles e et d'une infinité de cercles c' (*) :

1® les plans P, des coniques C, dont les perspectives sont les cercles e, passent tous par une même droite J) ;

S"" les plans P\ des coniques C, dont les perspectives sont les cercles e', passent tous par une même droite D';

3" les droites D, D' sont conjuguées, c'est-à-dire que le pôle de chaque plan P est situé sur D'; et vice versa.

Théorème III (Réciproque du précédent). — Soient C les coniques dont les plans passent par une droite D, et C les coniques dont les plans passent par la droite D', conjuguée de D : tes cercles c, perspectives des coniques C, et les cercles c', perspectives des coniques C, constituent un système orthogonal.

Remarques. — I. Le système orthogonal est le plus simple possible quand, les cercles c ayant leurs centres sur Taxe moyen OB, les cercles c' ont les lours sur le demi-diamètre OD = OB, situé- dans le plan principal AOC. Alors les droites D, D', respectivement parallèles à OB, OD, rencontrent le diamètre OV en des points R, R'. De plus, OR.OR' = OV , absolument comme dans le cas de la sphère.

II. Puisque, à chaque point M, intersection de deux coniques obliques (**), correspond un point wi, intersection de deux cercles orthogonaux, l'ensemble de tous les cercles c, c' (ensemble déterminé par des points fixes. A, B, pris arbitrairement) conr stitue un nouveau système de coordonnées. Ce système orthogonal circulaire pourra, peut-être, s'appliquer à certaines questions relatives à Tellipsoïde.

(*) Journal de LiouviUe, t. XIX, p. 154.

(**) C'est-à-dire, se coupant obliquement, (Mars 1888.)

CCXIiVI. — Sur l'HélIce-eat^ioldiqve (*).

(Août 1874.)

I. Théorème. — Soient une chaînette AC, située dans le plan zx, et une hyperbole équilatère AH, située dans le plan xy (**). Ces deux courbes ont même axe OAx, même sommet A; de plus, Oz -est la directrice de AC. Cela posé, la courbe AMI, projetée suivant les deux courbes données , est une hélice.

Les équations de cette courbe sont : *

a: = -(c'^-He "J, x^ — y* == a^

Si Ton élimine x, on trouve

Considérons le cylindre qui contient la chaînette AC et la courbe AMI ; soit PM une génératrice de ce cylindre, limitée aux deux courbes. La dernière équation exprime que

Mais, d'après une propriété connue, le second membre représente aussi la longueur de Tare AP. Donc

PM = arc AP. C.Q.F.D.

IL Si une hélice-caténoïdique est éclairée par des rayons parallèles, Yombre de cette courbe, sur un certain plan, est une hyperbole équilatère (***).

(*) Réponse (indirecle) à nue question proposée dans la Nouvelle Correspondance mathématique (l. I, p. 67).

(**) Le lecteur est prie de faire la figure.

(***) N'est-ce point au Professeur Guillery que Ton doit le théorème suivant, attribué parfois à Th. Olivier : L'ombre de VhéUce ordinaire peut être une cyclotde ?

ijCJLMAlfME. — lin déTeloppememt de

sinx