COS'X
i/»-cos*x —
V/îr3.5
cos'x
(*) Cotir« d'Analyse, p. 595; Bierem de Ilaan, T. 6.
(83) L'égalité (3) devient donc
X n in 2 I.Stt
= COSX H COS'X COS'XH •- COS*X
sinx 1 2 2 5 2.4 2
-cos'x -f- •••;
et, lorsque x = :
TT i TT 2 I.Stt 2.4
III. Quand cos x est inférieur à Funité, les termes de rang impair, dans (4), forment une série convergente; et il en est de même pour les termes deVangpa/r. Conséquemment,
sinx 2| 2 1.4 2.4.6 1
— cosx -4- - cos*x -*- - — cos'x -+- — ; L ^ ^' ? J
mais la même réduction n'est pas applicable à la série (5) (*).
IV. La démonstration employée dans le paragraphe (I) est peu rigoureuse; mais il serait facile de remédier à ce défaut, en prenant l'expression du reste :
'â" 8in""^*arftf
R^=cos"+*x / -
cosxsma
et en faisant voir que ce reste tend vers zéro, même lorsque cos x= 1. Au lieu d'entrer dans ce détail, posons :
y = - — , cosx = z; (7)
smx
de manière que ^ .
T arcsmz
arceosz 2
(*) Sous le rapport de Vincommoditc , elle est comparable à Pune de celles que j'ai rencontrées en étudiant la constante G (Recherches sur la constante G..., p. 5i). De plus, les termes de la série (5) sont les carrés des termes de Pautre.
Tant que z est inférieur à 1,
arcsinz
Vi — z*
Or,
arcsinz
Par conséquent,
TT
comme ci-dessus (6). En outre, en sévie convergente^
la-. 2 . i.Sîr ^
arc CCS z t
Vi — z'
et, SI z = 1 :
7t in 2 1.3t 2.4
CCHLIil^III. — Sur les lignes s^odéslqaes .
de l'ellipsoïde.
(Mai 1882.)
I. Introduction. — On doit, à Liouville, le théorème suivant :
« Si parallèlement à la tangente en un point quelconque M » d'une ligne géodésique et à la tangente- conjuguée, on conçoit » deux demi-diamètres de V ellipsoïde, la perpendiculaire H » abaissée de l'extrémité du second de ces demi-diamètres sur fc » premier sera constante (**). »
La démonstration géométrique donnée par mon illustre Maitre
(*) Voir, par exemple, Notes d'Algèbre et d'Analyse, p. 44. (**) Journal de Mathématiques, t. XI, p. 22.
me parait peu satisfaisante (*). En déduisant le théorème de Liouville de celui de Joaehimstal (ce qui est naturel et connu), on peut modifier l'énoncé du premier théorème, de manière à rattacher celui-ci, jusqu's^ un certain point, à la théorie de la polhodie.
II. Démonstration nouvelle. — Soit MT la tangente, en M, à une ligne géodésique AMB. Soit FGH la section faite, dans rellipsoïde E, par un plan central, parallèle au plan tangent
en M. Soit encore P fa distance de ces deux plans. Menons, dans
la section centrale, le demi-diamètre OG et la tangente HS,
parallèles à MT. Le théorème de Joaehimstal consiste en
Téqualion :
OG.P = cons«.. (1)
Les demi'diamètres OG, OH, OM sont conjugués deux à deux;
donc le parallélipipède, déterminé par ces droites, a un volume
constant. Ainsi
P . OG . OH sin GOH = consi. (2)
(*} Il en est de mémo de la démonstration publiée, il y a un an, dans les Nouvelles Annales (1882, p. 49). Qu'est-ce que le savant auteur appelle tangentes conjuguées sur la surface?
Menons OR perpendiculaire à HS : OR «=» OH sin GOH.
L'égalité (2) devient
P . OG ,R => const. (5)
Comparant avec la relation (1), nous avons donc
OR = const. ;
ce qui est le théorème de Liouville. Mais nous pouvons l'énoncer ainsi :
Soit MT la tangente, en M, à une ligne géodésique AMB. ^t^ par le centre de l'ellipsoïde E, on fait passer un plan parallèle au plan tangent en M, la tangente HS à cette section centrale, parallèle à la tangente MT, est à une distance constante du centre.
m. Remarques, — 1° Le lieu du point R est une courbe sphérique.
S"* La droite HS, tangente à Tellipsoïde Ë, est tangent^ à la sphère S ayant pour centre, et OR pour rayon.
S"" Le plan tangent, en H, à Teilipsoïde, est parallèle au plan GOMT. Si celui-ci était perpendiculaire à FGH (*), le premier plan coïnciderait avec celui qui est tangent, en R, à la sphère S;et alors la droite RS serait génératrice d'une développable 2, circonscrite à l'ellipsoïde et à la sphère. Par suite, le lieu du point H serait une polhodie. Mais il n'y a pas de lieu du point H, attendu que le mouvement de la droite RS n'est pas déterminé par les conditions du problème.
(*) Cette hypothèse, que rien ne justifie, nravait paru résulter du texte de Liouville {toc cit.). Naturellement^ elle conduit à des résullats absurdes, inutiles à rapporter. (Juin 1887.)
CC^IilSL. — Tliéorènie d'Algèbre {*),
(Mai 1872.)
