Si Von donne les équations

ax' H- bu' hx' -\- cxi'

Il li-« —=z\ (i)

Ji^h{x- xj - (a - c) (X - x')(y ^y')-b[y- y')\ (-2) Z = (a -^ ;?')(c -I- z') — 6« (3)

dan« lesquelles les inconnues sont

fc produit XZ e^/ indépendant de x', y', z'.

On tire, des équations (1) :

L'égalité (2) peut être écrite ainsi :

Xi2"== b(ax' -+- 6y'/ — (a— c)(ax'-+- 6t/')(6a:' -f- cy')— 6(6x'-f- et/')*;

puis sous cette forme :

Xz'«= (oc — 6')[6x • — (o — c)x'.*/' — 6y"J ;

puis encore sous celle-ci :

Xz'* = (ac — 6*) [(6x' ^- cy') x' — (ax' + 6i/')y ']. (5)

D'après les équations (1), la quantité entre parenthèses égale

[(t/-y)x'-(x-xV]z'; c'est-à-dire

(*) Obtenu par une étude sur les Systèmes triplement orthogonaux (voir la Note CCXXXIIi).

Donc

X*'=(ac-6')(x'y-y'x). (6)

D'ailleurs, par les formules (4),

Ainsi

XZ = (ac — 6*)[6x« — (a — c)xy — 6y"]. (A)

Addition. — (Juin 1887.)

II. Interprétation géométrique, — Au lieu des équations (1), prenons :

flx -♦- 6y -♦- (« — (x)z = 0, 6x -♦- cy -4- (y — p)« = ; (7)

puis réquation auxiliaire :

= [6a' — (a -. c)ap — 6p' 1 (ac — 6'). j ^ ^

Pour toutes valeurs particulières des paramètres a, (3, les équations (7) représentent deux paraboloîdes hyperboliques P, P'; et réquation (8) appartient à une surface S, du troisième ordre, dont les lignes de niveau sont des coniques semblables.

Cela posé, d'après le théorème précédent, si Ton éliminait x^iy entre les trois équations, on trouverait une identité. Donc les trois surfaces se coupent, deux à deux, suivant une même ligne.

CCMa. — Problème troavé en sonire*

(9 mars 1886.)

I. Décomposer une fonction donnée, f(x,y), en deux parties M, N, de telle sorte que Mdx -h Ndy soit une différentielle exacte.

Lsî seconde partie égale /"(x, y) — M. L^équation du problème

est donc

Mdx + \f{x, y) — m] rfy = du. (i )

On doit avoir

pourvu qu'après Pintégration on suppose a. égale x — y. II. Exemple :

df ' 1

dy dx dx '

dM dM d/* dx dy dx'

équation aux dérivées partielles, du premier ordre.

Les équations auxiliaires sont :

, , dM dx===dy=——; (3)

et leurs intégrales :

/'df X = a -+- y, M = / — dx -+- p. (4)

Dans ^, on doit remplacer x par a -+- j/. Ainsi

=J -j^^y-^^f^^-^yy^ (^)

/^rfy=(a+y)'-3av'--V=^~3(x-y)y'-2y»==^-3xy*+y»;

M = x' — 3xy* -+- y' -+- ?(x — y),

N = — 3x't/ -+- Dxy* -+- !/• — y' — 9(^ — y)

On trouve ensuite :

ti=-— -xy -♦-xy'^-.^ 1^ — --^i{/(x — y).

CCIil. •— Cne propriété des systèmes triplement

orthon^onaoM.

(Mai 1872.)

I. Soient trois surfaces appartenant à un pareil système^ et se coupant suivant les lignes de courbure MA, MB, MC, dont les

tangentes sont MS, MP, MU. Les directions MS, MP sont déterminées par les équations

dx = pdx -H qdy^

dx -¥- pdx dy -4- qdz rdx -4- sdy sdx -4- tdy '

dans lesquelles les dérivées se rapportent à ia surface AMB. MS est normale à la surface BMC; donc

Cette fois^ les dérivées sont relatives à cette seconde surface; et dx, dy, dz sont les projections, sur les axes de coordonnées, d*un élément Mm de MA.

L*angle UMS est droit; donc

PP' -*- çgf' -+- i = 0. (4)

Au moyen des proportions (3), Téquation (2) devient

P — P' 9 —Y 6 étant une inconnue auxiliaire.

Soit, en outre,

Les équations (5) ont même forme que les équations (1) de ta Note CCXLIX. De plus, P ne diffère, du produit XZ (*), que par un changement de lettres. Donc, en vertu de la formule (A) (*):

P = [ph -^pqlr—t)-^ q^s](rt — 8% (7)

Ainsi, la fonction P dépend, uniquement, de la surface AMB.

IL On tire, des équations (5) (*) :

{t^B)p-q8^ (r-^B)q-ps

après quoi la substitution dans (4) donne

(i ^ p« ^ qY ^ [(1 -+. p«)e — 2p7« -+- (1 ^ 9')r]e -t- H — s'= 0. (9)

Si R est le rayon de la section normale, tangente à MA :

H- rt — «' = (**).

Donc, abstraction faite du signe, Tauxiliaire 6 est donnée par la formule

{') Loc, cit.

{**) Voir, par exemple, V Analyse appliquée, de Leroy, p. 344

Autrement dit, ^ est la projection, sur l'axe Oz, du rayon principal R.