III. Si R' est le second rayon principal , on a , par Téqua

tion (10),

i rt^s^

RR' (i + p' ■+- 7')« Donc la formule (7) peut être écrite ainsi :

P = [p-s -pq(r-l)- qh] ^* ^ ^^^ ^'^' (*). {i 2)

(*) La réduction de la forme (6) aux formes (7) ou (42) doit, sans doute, pouvoir être interprétée géométriquement. J'ai cherché cette interprétation; mais je n'ai rien trouvé de satisfaisant, même quand les surfaces données sont des qi/artiques homofocales. Quand il en est ainsi, on a (*) :

c^ X c^ y c* xy

^^"V^z" ^^""ft^â' ^'^'^*1*'

c*(6' — y*) c*xy c*(a* — a?')

r — f = -^^ 2- , rt — s*r=

a'^bH^ a*b*z*

Donc :

p*s — pq{r — t)— q*s =

• c^xy Ix^ yn c'ry 6* , t/«) ^ {a' -b')c^xy

puis

(o« — b*)c^*xy

(*) Gbàrlbs Dunif, Développementê de Géométrie, p. 203.

CCIilI. — Sur la Oéométrle de Mil. Brocard, liemoine, IVeuberg^, de lionn^champs, ••• (*).

(Avril 1886.)

1. Théorème préliminaire. — Si trois droites APA', BPB', CPC, issues des sommets d!un triangle, se coupent en un point P, les symétriques de ces droites, relativement aux bissectrices intérieures, se coupent en un point Q (**).

Appelons y les angles égaux AGC, BCC.

Dans les triangles ACC, ACC", BCC", BCC :

AC'^ sinr AC" 8in(C — r)

Âc""sin(AH-^' "ÂC" "" sin (B — r) '

BC'sin(C — r) BC" sinv

B(r'^sin(A-+-r)' 'BC'"~sin(B-*- y)' Donc