AC". BA". CB" = BC". CA". AB

II. Remarque. — On peut dire que les points P, Q. sont associés. Cela posé : si P est le centre de gravité, Q est le point de Lemoine; si P est un point de Brocard, Q est l'autre point de Brocard; etc.

eCIilII. — Problème de Probabilités (*).

(Novembre 1884.)

I. Combien y a-t-il de nombres de n chiffres, composés, chacun, de p chiffres donnés? ou encore :

De combien de manières peut-on remplir n cases données, avec p lettres données, a, b, c, ..., f, g, chaque arrangement devant contenir les p lettres ?

Soit 9(n, p) ce nombre de manières. Considérons les arrangements composés de n — ^ lettres, et contenant, soit les p lettres données, soit seulement p — I de ces lettres.

l*" A la droite de chacun des premiers, apportons, successivement, chacune des p lettres a, b, c, ..., f, g. Nous obtiendrons p(f(n — 1, p) des arrangements demandés.

2" Parmi les arrangements composés de n — i lettres, il y en a cp(n — 1 , p — 1) qui ne contiennent pas a, <p(n — 1, p — 1) qui ne contiennent pas 6; etc. A la droite de chacun, écrivons la lettre manquante : nous formerons p(p(n — l, p — 1) nouveaux arrangements, faisant partie de ceux que nous cherchions. L'équation du problème est donc

(*) Extrait d'un Traité, inédit.

(**) Dans mon cours à TUniversité, j'avais obtenu cetle équation (4) au moyen d'un raisonnement inexact; et, en conséquence, je la croyais fausse. M. Beaupain, i*un de mes meilleurs élèves, me communiqua la démonstration précédente.

II. On peut supposer 9(119 0) «=» 0. De plus, il est visible que

(p(w, 1)==1. Or, dans le Calcul des différences^ on trouve la

formule

A' (0") = p [Ar(o»-*) -f- A''-*(o"-*)] , (2)

dont la vérification est facile, et qui a même forme que Téquation (1). On satisfait donc à celle-ci en prenant

9(n,/)) = A'(o"), ou

9(n,p) = p»-J(p-irH-^fcl\p~2)«-...±^(r). (3)

III. Remarque, — La quantité 9(11, p) est le nombre des cas favorables, dans le problème suivant :

Quelle est la probabilité que les p numéros, contenus dans une urne, sortiront en n tirages (*)?

Le nombre des cas possibles est p". En effet, on peut remplacer les n tirages par un seul, effectué au moyen de n urnes (**).

CCIill^. — Quelques décompositions de Funité (**'').

(Juin 1886.)