III. Corollaire, — L'équation

{xyz — a6c)* = 0,

peut être écrite sous les six formes (A).

CCIiV. — Conséquences du Tltéorème de Fermât.

(Septembre 1886.)

I. Soient p, q deux nombres premiers, impairs et inégaux. Si p ne divise pas q — 1, on a, par le Théorème de Fermât :

Mais

(7-ir*-i=jïL(p).

— iY-f=a'-' - o'-* H i— — -V 1 =

Dïl(q) -H <

. Donc, dans Tégalité (1), le premier membre est divisible par ç. Et comme p, q sont premiers entre eux, cette égalité devient :

(q--i)p-*^\=jn{pgy (A)

De même, si q ne divise pas p — 1 :

(p^ir^-i=.jn{pqy (B)

Quand les deux conditions ont lieu simultanément :

(9- ir* - {p-h'-' = Jrc(p9), (C)

ou

[(q-iy -h {p-\yrj(q - i)V__(^ ^)'-?^] ^JJKpg), (D)

IL p étant impair, o^^* — 1 est, algébriquement, divisible par a -4- 1 . Donc ce binôme est, arithmétiquement aussi, divisible par a + 1 . En conséquence :

p étant un nombre premier, qui ne divise ni a nt a -f- 1 :

o»^* — 1 = Jn[p(a-4-i)]. (E)

♦ De même : p étant un nombre premier, qui ne divise ni a

fti a *~~' 1 *

oP-«— i=.jnL[p(a — i)]. (F)

Enfin, si le nombre premier, p, ne divise nia — 1, m a, ni

a'-*-1=jrL[p(a»— 1)J. (G)

Soient, par exemple,

On doit trouver

4«- 1 =0îL(i05).

En effet,

(*) Ces trois conditions sont remplies si p surpasse a + J.

m. D*après (E) et (F) : si le nombre premier p ne divise pas, à la fois, q -+- 1 e/ q — 1 :

ou

IV. Supposons q impair. Alors le premier membre est divisible par S*""*, nombre premier avec pq. Donc :

[(?llf'.(t!)-J[(.-)-.(i^)-],..U„MK,

V. Remarques. — 1® Si p a la forme 4|t/ — 1, le premier facteur égale

il est divisible par q.

2*» Si p = 4fx -h 1/ le second facteur est divisible par q.