I. Préliminaires. — Soit BAGD un quadrilatère inscrit. Si

Tangle BAC est rendu fixe, la diagonale BC est une droite de longueur constante, glissant entre les côtés de l'angle xAy.

Quant aux côtés, BD, CD, ce sont des cordes dont les longueurs sont données, et qui appartiennent à un cercle mobile , de rayon constant. Donc Vangle DAx est constant; et le sommet D décrit un segment de la droite DA (*). Les posîtionsr extrêmes du point D, savoir : P, Q, sont déterminées par

AP==BD, AQ = CDn.

II. Lorsque Tangle A est droit, Tenveloppe de BC est une hypocycloïde droite. Dans le cas général, cette enveloppe est une courbe fort compliquée, que nous pouvons appeler hypocycloïde oblique (***).

IM. Les droites BD^ CD ont des longueurs constantes; elles

(*) Théorème connu. Voir, dans mon Application de l'algèbre à la Géométrie (1848), une remarquable Noie de M. Mannheim.

{**) Quand B vient en A» BD coïncide avec AP ; quand C vient en A, CD coïncide avec AQ. Par suite, les poinls P, Q se confondent, si BD=CD.

{***) Il n^est pas difficile de prouver que toute hypocycloïde oblique est parallèle à une certaine hypocycloïde droite. Voir, dans les Nouvelles Annales (1878, p. 321), une autre Note de M. Mannheim.

glissent dans des angles donnés; doue Fenveloppe de chacune est une hypocycloïde oblique.

IV. Prenons, sur la circonférence circonscrite au quadrilatère ABGD, des points F, 6, H, ... La propriété démontrée pour le point D subsiste pour ces divers points; donc ils décrivent des droites passant par le sommet A.

V. De plus, les cordes BF, FG, GD, ... enveloppent des hypocycloïdes obliques. Et si ces cordes sont égales, leurs enveloppes le sont.

VI. Système articulé. — étant le centre de la circonférence circonscrite au quadrilatère ABGD, supposons que les rayons AO, CO, DO soient (rois tiges, articulées en A, 0, C. Si la corde GD est une quatrième tige, le triangle GOD sera invariable de

forme et de grandeur. Par suite, quand Vanneau G décrira la droite fixe RS, passant en A, le sommet D décrira également une droite, passant aussi en A; et Ton aura transformé un mouvement rectiligne alternatif en un autre mouvement rectiligne alternatif.

CCIiTII. — Sur des sommes de M-earrés.

(Mai 1886-/mn 1887.)