CCXLVII. — Sur deaiK tbéorèiiies de M. Màmgnerr

(Août 1884.)

I. Premier théorème. — On peut construire trois cercles osculateurs d'une parabole, qui touchent une tangente à cette courbe : cette tangente, et les tangentes aux points d'osculation, touchent un même cercle.

I. Rapportons la courbe à la tangente Cx et à la normale CA (***).

L'équation sera

(y - ox)' — 26t/ = O. (i)

Il en résulte :

(y-ax)(t/' — a) — 6^ = 0, (2)

(y' — af ^(y-ax^ b)y" = 0. (5)

Le cercle osculateur en M, qui touche Gx, est représenté par

y-2py + (ap-a)« = 0; (4)

d'où

(*) Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces, p. 34. (**) Savant Géomètre, plein d'originalité, dont on déplore la perte récente. Je l'ai en pour élève, au Lycée Saint-Louis, en 1854. (Nov. 1886.) {*'*) Le lecteur est prié de faire la figure. ('^) a est le coefficient angulaire des diamètres; 26 ss corde CA.

Des équations (2), (3), on tire

by' . (y' - af

Ainsi

fv' — af {y'^af^ahy" = 0, y" ^-^' W

La première valeur de y — ax, substituée^ dans l'équation (1), di^nne

puis

, = iJ^. (7)

L'élimination de x — a et de p, entre les équations (4), (5), conduit à

Donc, par substitution des valeurs (6), (7) :

y''{y - «r - 4a(1 -*- y'') (y' - a) - 4a^(i + yT = ;

ou, après suppression du facteur j/' (*) :

y'(y - a)' - 4a(i -H y'')(1 -4- ay') = 0. (9)

On simplifie cette équation en posant

y' — a 1 -4- ay

puis t — a = s. On trouve ainsi ;

«' — 5tt's — 2a(2 -f- a') = 0. (10)

(*) y' =r répond à la tangente Cx.

{**) t est la tangente de Tangle que fait MX, tangente à la parabole, avec les diamètres.

Cette équation a une seule racine réelle; donc, des trois cercles considérés, deux sont imaginaires (*).

IL Second théorème (**). — Les projections MP, M'P' de deux normales MN, M'N' à une ellipse, sur la corde MM', sont égales entre elles (***).

Nous supprimons la démonstration, très facile ('''); mais nous énoncerons les propriétés suivantes, conséquences du théorème :

1° Dans P ellipse y la projection d'une normale MN, sur le demidiamètre OM, a pour expression ^ ; a' désignant ce demi-diamètre;

^ Dans l'ellipse, deux cordes parallèles sont entre elles comme les projections, sur ces droites, des intervalles compris entre les pieds des normales correspondantes.

(*) Nous ne poussons pas plus loin cet exercice de calcul. Dans la démonstration donnée par M. Brisse, on lit :

« réquation

> dont les rctcines sont imaginaires. Il y a donc trois cercles osculatenrs » imaginaires d'une parabole, qui touchent une tangente a cette courbe » . (N. A., 488i, p. 390).

Etonné d'une pareille conclusion, deux fois énoncée, j'écrivis à TAuteur : « relisez donc la page 590 ». M. B. se contenta de me répondre à peu près ceci : « je n'écris pas pour les savants ; j'écris pour les élèves » . Ultérieurement, la correction a été faite.

('*) Cité et démontré par un ancien Elève ^e Mathématiques spéciales, (iV. A .y même tome, pp. 453 et 458). Tout le monde sait que ce pseudonyme désigne un savant Professeur à TÉcole polytechnique. En 4848, alors qu'il suivait mon cours, au Lycée Gharlemagne, il se fût dit : Ëlève de Mathématiques supérieures. En ce temps là, on avait renoncé à la ridicule dénomination de Mathématiques spéciales, si justement critiquée par Gergonne.

(***) Le lecteur est prié de faire la figure. (Les points N, N' appartiennent au grand axe.)

('^) Par l'emploi des coordonnées, elle est plus courte que celle que nous venons de mentionner.

CC1L¥III« — Remarques sur un théorème de Fermât.

{Juin 1884.)

L Ce théorème, Tun des plus importants de la théorie des Nombres, a été démontré (de la même manière) par Lagrange et Legendre (*). Habituellement, on l'énonce ainsi :

Tout diviseur d'une somme de deux carrés, premiers entre eux, est également une somme de deux carrés, premiers entre eux (**).

Mais ces grands Géomètres, et leurs successeurs, ont négligé de faire observer que le diviseur dont il s'agit peu^ être la somme de deux carrés fractionnaires (***).

Par exemple,

y H- 2» = 5 X 17, et 17 = (^)' + (y)'.