II. De la double identité classique

(a* -t- 6») (a' -i- p*) = [acL ± hpy ^- (a^ zp ba)\ (1)

on conclut

(o* -f- 6') (a* + py = (aa« =fc 26ap — ap^ ^ (6a« zp 2aap — bpy, ou

\ a' -4- p* I \ ol' ^ p'' I ^ '

En général, les fractions entre parenthèses ne sont pas réductibles ^ des nombres entiers (*'). Conséquemment :

(*) OEuvres de Lagrange (publiées par Serret), 1. 1 H, p. 21 i ; Théorie des Nombres, àe Legendre, t. I, p. 205.

(**) Legendre dit, à Tendroit cité : a tout diviseur de la formule i* -4- u*... » Je ne pense pas que t^-i-u* soit une formule.

(***) Très probablement, Tomission a été volontaire; la décomposition en deux carrés entiers étant seule efficace.

('*) a, p sont des entiers arbitraires, positifs ou négatifs.

La somme des carrés de deux nombres entiers est décomposable, d'une infinité de manières, en deux carrés fractionnaires.

En particulier ;

Tout nombre premier , de la forme 4a •+- 1 , est, d'une infinité de manières, égal à la somme de deux carrés fractionnaires.

Par exemple,

5 = îî' -f- i

li-'^MfH^H^^^'