S„ (an- n)(6 -h n

ou, ce qui est équivalent,

(g >»- n)(b -t- fi)

ao

Ainsi, la somme S„ s'exprime, fort simplement, au moyen de u„. Xll. Suite, — On a

tt«+i (o^n)(6-*-«)

tt„ (n -f- i )(o -4- 6 -4- n -♦- 1 ; De là résulte que la série est toujours convergente (*). En efiTet^

/im|(n + 1) — — wl = /tm ^ "^^ = — i (**).

(*) Les constantes a, 6 sont supposées positives, (•*) Traité élémentaire des séries, p. 23.

( 105 ) Par suite,

Km. S„ = S = — 1 -4- — limUa ^ n){b -¥■ n)tt J. (iî2)

Pour évaluer cette limite, nous nous servirons d'une proposition auxiliaire.

XIII. Théorème. — Soient quatre nombres a, b, a', b', teh que a H- b = a' H- b', et soit x une variable indéfiniment croissante.

On a

ltm~ !—L. i = i. (13)

Posons

^^r(a ^x)r{b'-hxy

ou, ce qui revient au même :

B(a -I- x, 6 -♦- x) B(a' -4- ar, 6' -*- x)

Supposons que b' soit le plus grand des quatre nombres donnés. Nous aurons 6' — a = 6 — a' > 0.

D'après le théorème d'ËuIer, exprimé par Féquation

B(gf,m) 'B{q,m-^p)^^'

(*) Tome I, page 136. En passant , je ferai observer que cette équation revient à celle-ci :

laquelle est évidente.

( *06 ) 0U9 par une formule connue (*) :

ys=i — ^— H ; ^ h ...

Donc

lim y = i.