V. Postulatum de Bertrand. — D*après M. Bertrand, entre n
et 2n, il y a, au moins, un nombre premier (*)• Autrement dit,
le nombre E surpasse i (**), Ce célèbre postulatum équivaut
donc à Tinégalité
(fin) > a-pV... îr^ (B)
VI. Remarque. — La Note citée contient (p. 8) cette autre traduction du Postulatum :
Le nombre entier w, étant supposé compris entre 2* et 2*+* — \ , soient ^, y, àj ..., tt les nombres premiers impairs, non supérieurs à n. Soient en outre :
I4, le nombre de ceux, des quotients (^\ (— )> .-> qui sont impairs ;
I2, le nombre de ceux, des quotients (|^), [|j], ...,gwi sont impairs ;
Si^ entre n -+- 1 e/ 2n, il y a des nombres premiers, on à
et réciproquement. De plus, le premier membre de cette inégalité
est la quotité de ces nombres premiers.
Soit, par exemple, n = 15; et, par conséquent, /: = 3-
Ona
puis les quotients
O Voir les Notes LXXXI et CCXXV.
(**) Si n surpasse I , E surpasse n.
Tous ces quotients sont pairs, excepté (~). Donc puis
k Il -h If /j -f- . . cas 4.
Effectivement, entré 16 et 30, il y a quatre nombres premiers; savoir: 17, 19,23,29.
€€IiX« — Théorème d'Arithmétique.
(Juillet 1886.)
Nous avons cité, fréquemment, [a propriété suivante, énoncée « dans le Cours d'Analyse (*) :
a, b étant deux nombres entiers^ premiers entre eux :
-1-- = entier»
En voici une autre, du même genre, qui nous parait curieuse :
n étant premier avec 6, on a ;
= entier. (A)
1 . 2 . 3 ... n X i . 2 . 3 ... n — 2 Pour la démontrer, il suffit de vérifier la relation
iti - {—) ■■
p étant un nombre premier (**).
1** Soit p = 2. A cause de n=2n'-h 1, la relation (1) devient
(An' — 2\ /2«' "4- 1 \ /2n' — 2\
(•) Page 48.
{*•) En eflfet, de
on conclut
[px) > [p<x) -^ [po^)
ou
2n' — \ ^ Il -4- n' — 1 ; ce qui est exact.
2** Soit p = 3. On peut avoir n =» 6n' zb i . Dans le premier cas, on trouve
et, dans le second,
An' — 2y (2n' — 1) -*- (2n' — 1), 3** Supposons p > 3.
Si f^^y-^) est impair, on a (*)
donc la relation (1) se réduit à
et celle-ci est évidente.
Si l^^— -^) est pair, posons
2n — . 4 = âap -t- 26, ou
n — 2 = op -*- 6.
La même relation (1) devient
/ap -4- 6 H- 2\ 2«^(^ J-^«
OU
Or, cetle équation est une conséquence des inégalités
C) iVofc CCLIX.
€€Ii%I, — Sur les Mombres de Seifner (*).
{Aoùi 1886.)
XVIII. Relation entre les Nombres de Segner et les Nombres de Catalan (**).
Le petit Mémoire intitulé: Sur un développement de l'intégrale elliptique^ de première espèce (***), contient les égalités suivantes :
On en conclut, évidemment, une équation du premier degré, entre les carrés des Nombres de Segner. Elle paraît devoir être fort compliquée.
XIX. Propriétés nouvelles (J), — 1" Soit i le nombre des termes impairs compris dans la suite :
selon que n est pair ou impair, T„ est ou n'est pas divisible par 2* O-
(*) Complément à la Note G Vil. (Congrès de Nancy.)
(**) M. TÂmiral de Jonquières m'a fait Thonneur de proposer cette dénomination, qui n'a point prévalu. Je remploie pour abréger.
(***) *Académie de Belgique, 10 octobre 4885.
{^) Les nombres entiers P^, P^i, P^, ..., que M. de Jonquières a bien voulu calculer, ont les valeurs suivantes :
Pj = 8, P,= 80, P5=896, P4 = 10816, ...
(^) Addition au paragraphe XVIf.
(^) Cette proposition résuite de régalilc
nTm+i = Cî««i, H- 1 f (7)
2" Lorsque
Dans les cas contraires,
T, = JR,(2n-5).
On sait, et il est facile de prouver, que
Or,
Donc
C„., = JIt (2/1-1).
(w-*-i)T,^,=jn:(2n-i),
(w— l)T„ = jn.(2n — 5).
Cela posé : si n = 3fx -h 1, cette égalité se réduit à
A*T„ = JIL(2a^-1).
El comme /Jt et 2/jt — 1 sont premiers entre eux, on a
/2 Soit n= 3|:x. Alors
combinée avec le théorème suivant :
s étant le nombre des termes impairs compris dans la suite
Cîn.n ^st divisible par 2% et le quotient est impair {Mémoire sur certaines
décompositions en carrés, p. 65). Ajoutons que :
1« 5i n est impair et égal à 2*n' -♦- ^ , • — a est positif; 2« T„ est divisible
par 2'"^. Enfin, d'après la relation (7) et une propriété démontrée : Si n
est premier avec 6,
C«„i,„î = Jfl (n* — n).
Mais, évidemment, 3fjt — 1 el Gp — 5 sont premiers entre eux ;
donc
T„ = JIL(6p ^ 5) = .'Tît (2/i — 5). •
Si n = 3/x — 1 , on trouve, avec la même facilité,
T. = 3TL(6/^ - 7) = OÎL (2?» - 5).
3° Dans la suite T4, T5, ..., T„, T„^,, ..., deux termes consécutifs ne sont pas composés des mêmes facteurs premiers.
Pour démontrer cette proposition, je m'appuierai sur le Lemme suivant, à peu près évident :
Si deux fractions équivalentes ont leurs dénominateurs premiers entre eux :
1° Ces fractions se réduisent à un nombre entier;
2** Leurs numérateurs ne sont pas composés des mêmes facteurs premiers.
Ceci admis, prenons l'égalité (2) (*), mise sous la forme
Si n est premier avec 6, les dénominateurs sont premiers entre eux; donc T, et T„+i diffèrent par les facteurs premiers de n et de in — 6 (**).
Soit n = 2^3%', n' étant premier avec 6. L'égalité (38) devient, si l'on suppose a et j3 différents de zéro :
et l'on retombé sur le premier cas.
(*j A^o^eCVIl.
(**) Soit, par exemple, » = 13, ou 4 n — 6 = 46. On a
T„=2.7.13.17.19, Ti4 = 2«. 7. 17.19.23,
conformément à renoncé.
( ii6 )
XX. Groupes relatifs. à un nombre premier. — Soit, comme ci-dessus (XVII, 5""), p un nombre premier, supérieur à 5. On a vu que :
Si T„ est divisible par p, sans que T„i le soit, p divise 2n — 5, Les termes
tous divisibles par p, constituent ce que Ton peut appeler : le premier groupe relatif au nombre p.
Après 2n — 5 = p, on peut prendre
De ces valeurs résulteut une infinité d'autres groupes relatifs à p; savoir :
... 5 1 Ip 9
•••1 *8iif
Ttp+s »
Les Nombres de Segner, compris dans ces groupes, sont les seuls qui soient divisibles par p (*).
Gela posé :
Si T, appartient au premier groupe, n est compris entre ^^^ etp, inclusivement;
Si T, appartient au deuxième groupe, n est compris entre ^^ et 2p, inclusivement ;
Si T, appartient au troisième groupe, n est compris entre ^^ et 5p, inclusivement;
(*) Ou reconnaît aisément que :
i « Les groupes n^empièient pas les uns sur les autres ;
2« Tp+i , Tjp^i , Tj^i , ... ne sont pas divisibles par p.
( ii7 )
Les valeurs de p sont ainsi déterminées par les relations suivantes :
De plus 9 tous les nombres premiers y p, qui y satisfont, divisent T^.
Soit, par exemple, n = 23, auquel cas :
23^p^41, il <p < 14;
et, par conséquent,
En effet, Tjj appartient au premier groupe relatif à 23, 29, 31, 37, 41, e/ au deuxième groupe relatif à 13.
XXI. Postulatum. — Soit p un nombre premier, supérieur à w. SHl divise T„ , on a
n < p ^2/1 — 5; car les relations
sont impossibles.
On est donc conduit à la proposition suivante qui ne diffère pas, au fond, du célèbre postulatum de M. Bertrand (*) :
Entre un nombt^e entier, supérieur à S, et son double diminué de 5, il y a, au moins, un nombre premier (**).
(•) Voir la Note CCLIX.
(**) Très probablement, la démonstration rigoureuse doit être fort simple; mais, jusqu'à présent, je n'ai pu la trouver.
œJLULII. — liCttre à M. Be Tilly.
Cher et savant Confrère, Savez-vous, en effet, intégrer
— =Aa:~, (1)
m étant quelconque? S*il en est ainsi, la théorie des équations linéaires vous doit un progrés considérable, et je me reproche de n*avoir pas étudié voire méthode. Rappelez-vous que Liouville a cité, avec éloges, le procédé au moyen duquel Kummer intégrait, péniblement, Téquation
Quant à l'équation
encore plus simple que la précédente, voici ce que je trouve dans mes notes de mai 1884, et que j'ai donné à mes élèves, in illo tempore.
Soit 0| une racine primitive de 6"* — 1 = 0. Une intégrale particulière est (sauf erreur) :
Ainsi, rintégrale générale est une somme de m — 1 intégrales définies, respectivement multipliées par des constantes. Avezvous la valeur de t/, au moins dans certains cas, sous forme finie? Alors, voilà une vraie fabrique d'intégrales!
Soit m = 2. Par ma (?) méthode,
»oD a*
( 119 ) Mais il est évident (et arcAt-eonnu) que :
y = Ce^. (6)
On doit donc avoir
e *(e«' ^ e-'")da^ke^. (7)
Pour déterminer la constante ft, je suppose x = 0:
En conséquence :
/oo a« «^
formule probablement connue (*).
Revenant à l'équation (2), je frouye, comme intégrale parti culière (toujours sauf erreur de calcul) :
0, étant une racine primitive de 6"*+* — 1=0.
Je désire, mon cher Confrère, que cette lettre soit de nature à vous intéresser. Puissiez-vous en tirer quelque chose!
Salut affectueux.
Spa, 5 juillet 1 886.
{*) Bien entendu, je n*aî pas, ici, les Tables de Bicrens
CCIiXID. — Sar réqaation ti* = x* H- y' + z\
{Mai 1885.)
I. Une solution. — Si p désigne un nombre premier, de la forme 4fx -+- 1, on peut prendre y^ -4- z* = p (*). De plus, la condition (m h- x) (ti — x) = p donne
puis
Soit, comme application,;? =73 = 64+9, auquel cas u=18. La proposée est vérifiée par
ti = 37, X = 56, y = 8, « = 5 (**).
II. ilt^/re solution. — D'après les formules du Mémoire sur certaines décompositions en carrés (***), on satisfait, à Téquation
ti' === x' -*- y' -4- 2*, par les valeurs suivantes :
a, p, y étant des nombres entiers quelconques.
En effet, la relation
(a» -♦. p« ^ yy = 4aV' + 4pV' + (r' — a' — P')'
est identique.
(*) D'après le beau théorème de Lagrange : toiU nombre premier, de la forme A\i- -^ \ ^ est la somme de deux carrés.
(**) Comme il arrive souvent en Analyse indéterminée, ce procédé simple,
qui donne une infinité de solutions, ne donne pas toutes les solutions ; par
exemple celle-ci :
(***) Pages iO et suivantes. Ces formules s'appliquent à Téquation
générale
II" = a?* -♦- »/• -♦- a*.
m. Remarque. — Pourvu que «, P, 7 soient différents de zéro, et que Ton n'ait pas y^==ûfi -4- p*, le nombre u^, somme de trois carrés, sera le carré d'une somme de trois carrés (*).
IV. Généralités, — 1** On suppose les nombres x^y^z^u premiers entre eux (**); alors, évidemment, x, y, z sont premiers entre eux; x, y, u sont premiers entre eux; etc.
2** La somme algébrique de trois nombres impairs est impaire; donc il est impossible qu'un seul des quatre nombres x, y, z, u soit pair.
3** Si y e^ z sont pairs, u et x sont impairs.
4" Supposons y et z, impairs. Alors
y« + z' == u' -^ x' = JK (4) ^ 2,
Des facteurs u -+- ar, w — ac, l'un est simplement pair, et l'autre, impair; donc u et x ne sauraient être entiers. Gonséquemment : des trois nombres x, y, z, un seul est impair.
S** Relativement au diviseur 3, on établit, avec la même facilité, les propriétés suivantes :
Un, au moins, des nombres x, y, z, u est divisible par Z; si u est divisible par 3, aucun des nombres x, y, z nest divisible par 3.
