V. Autre solution. — A cause de

si l'on suppose yeti premiers entre eux, on a, par un théorème connu :

w H- X = a' -♦- 6*, u — X = c' -f- d*; puis

y = ac dz bd, z = ad qi bc;

(*) Dans le Mémoire cité, j'ai détnontré ce théorème : Si u est une somme de trois carrés, u^ est une somme de trois carrés.

{**) Afin de n'avoir à considérer que les solutions primitives.

{ ^22 ) ou, ce qui revient au même :

(4) y = 2(acifc6rf), z=2(adqi6c). -^ ) ^

De ces valeurs résulte Tidenlilé connue :

(a*-H6'+ c'-+-iP)«=(o-i-6»— c'— d*)'-+-4(aczb6rf)'^4(arf=f:6c)» f); (5) d*où nous aurions pu partir.

VI. Remarques. — On a vu (IV, 4°) que ; des trois* nombres X, y, z, un seul est impair, Gonséquemment, dans Inapplication des formules (4), on devra prendre a, 6, c, d de manière que a* -4- 6* — c* — d* soit impair. En d'autres termes : parmi les indéterminées a, b, c, d, une seule doit être paire, ou une seule doit être impaire.

2° Si Ton admettait que, des trois nombres x, y, z, deux, au moins, sont premiers entre eux, les formules (4) donneraient, je pense, toutes les solutions de Téquation (1).

C€Ma%I\. — NTouYelleii propriétés des fonctions X„ (*').

(Janvier 1887.) I. Première propriété. — Soit

ou, par une sommation facile,

^P= r (1— 2xVdx. (2)

(*) Elle comprend, comme cas particulier, Tidentité (3). (**) Addition à la seconde Note sur les fonctions Xn ( académie de Belgique, août i886).

( «23 ) Si Ton fait ac = sin cp, on trouve

kj,= I ^cos''2(p.cos(pcf<p. (3)

Celte intégrale est celle qui entre dans la formule (F) (*). Donc

1 a;P(X^ -+- Xp 2 -+- '-)dx = A^, (A)

Px^il^, -*- X,., H- ^")dx == r\\ — ^xydx. (A')

II. Deuxièîne propriété, — L'intégration par parties, eflFectuée sur l'égalité (2), donne aisément

Par conséquent :

/^*[(2p+i)x''(Xp-i-X^.î+...)-2px'' \Xp,-vXp 5-+--)]c'a:=(-1)''. (B)

III. Troisième propriété. — Si, dans l'équation (4), on change p en p — i, p — % ..., 1, on trouve, par addition ;

• (2p -4- 1) Ap == Ap 4 H- Ap s -+-••• -^ Ao H- Q , (5)

selon que p est pair ou impair (**). Par suite,

r\(^p + i}x^{X, + X,., -^ ...) - a!^-*(Xp^, + Xp.5 -*- ...) .

— x^-'^Xp., -*- Xp 4 H ) Xo]dx = MW ou zéro (***).