IV. Application. — Soit /? = 4. On doit trouver
r [9x*(X, + X, -^ Xo) — 8x'(Xg -H X,)](/x = i .
(*) Seconde Note sur les fonctions Xn, p. 0.
(**) A cause de A^, = 4.
(***) On arrive au même résultat en faisant varier p dans la relation (B).
/"r?(3Si' — ISi' <- 7j') — *(5i'— «')lrf» — I,
lï est eiael.
Suite. — La relation (5) équivaut à
di[(2p-.-i)(l— 2a:')'— (I — 2i*)'"' (1 2j')— t]=
ins la parenthèse, la partie négative égale
(1 — aiV — 1
~ {1 — 2x')— i ' donc la différentielle est représentée par P(x)dx, on a
-2Çp -2a;' .
I fraction est la dérivée de
i (1 g-cyt'
2* ir conséquent :
• {ip■*-^){^-ix^)'**-^p■^-^)(l-ixy■*-i (i-2iy+^
Premier Mémoirt lur Ut foneliont X., p. 10.
fr •
VI. Autres intégrales. — Faisons, comme précédemment, X = sin (p.
Nous aurons :
/f (2p-t-1 )cos'+*2(p— 2(p+1 jcûs^âç-t-l ^ cos^*2(p— i r-i cos(prf(p« : , (D') sm'cp ^ ^ sm(p
t/ sin*<p
Addition, — (Juillet 1887.)
VIL Remarques. — 1** Le second membre de (E') ne change pas, quand on y remplace p par p -4- 2. Conséquemment
/î(2pH-5)cos'29-(2p4.6)cos'2(p -(2p-hl )cos29-f-2p-+-2 '- — ^eos''29.cos(pG?9=0.
Le numérateur est divisible par
1 — cos2(p = 2sin*(p,
Donc, sous une forme plus simple :
>>- / * [âp -♦- 2 -♦- cos2<p — (2p -4- 5) 009^29] ces' 2<p . coscpdç = 0. (F)
2"^ Cette égalité est une conséquence. des formules (3) et (4).
On peut récrire ainsi :
r\i — (4p -H 9)x' -♦- (4p -f- iO)x*](i — 2xyrfx = 0. (G)
VIIL Autres intégrales. — 1° Soit
r'^i (4p ^ 9)x* + (4p + 40)x*j (i - ^xydx = f{x). (7)
Le polynôme f(x) a une valeur fort simple. En effet, la quantité entre parenthèses ne diffère pas de
Donc
f'^x) = {i - âxy+'ii — 3x') — 4(p -*- i )(4 — 2xy (a:* — x*);
f(x) = (4 — 2xy+* (x ^ X*). (H)
2° La formule (4) équivaut à
r* (1 — âx')»^* [i — 2(2p ^- 1 )x«]rfx = (— 1)'.
3"* On a, plus généralement,
r\\ — 2xy-*[i — 2(2p H- 4)x']rfx = (i — 2xyx. (K)
IX. Relation combinatoire. — Dans f'ix)^ le coefficient de X** est
C,.*(- 2)*- (4p + 9)C„,,(- 2)*-* ^ (4p H- iO)C„.,(- 2)*-',
ou
Dans /"(x), le coefficient de x**"*"* est
-(-2y-«[2(VK.*-^c,+,.»-.].
Par conséquent,
2C,,. H- (4p + 9)C,.,. + (2p + 5)C,,»., = aiL(2A + K)
= (2fc+l[2C^M + Cp.M-.] (*)• W
Soient, par exemple, p = 5, A: = 3. On doit trouver
