III. Si l'on prend p = 1, p = 2, p = 3, ... on trouve

P, = X, P, == X -♦- -x', P5 = X -4- -ir* -< x', ..

expressions dont la loi parait difficile à saisir. Mais, dans Tégalité (5), le premier terme de la série est^^*. Par conséquent.

P^i = (1 -t-xjP,

puis, par un calcul très simple,

P^ == (i + x)''-*X H- -(i -4- XJP-'x' -*- -(i -^ X)''--V H- ... -*- -X''. (6)

IV. Remarque. — Lorsque x=1, les formules (6), (5) deviennent :

Par conséquent^

1 1/i\« ilW

2" Lp-^i p-*-2 p-t-1 p-t-3 (p-t-2)(p4-l ) p-4-4 (p-^3)(p-i-2)(p-i-i)

^-î-^(îr-5(îi--^i^

if\\p

V. Développements de J^^. — La dernière formule en donne une infinité. Par exemple, si p = 3 :

La série est, évidemment, beaucoup plus convergente que

D'ailleurs, si l'on effectue, on trouve, pour l'ensemble des quatre premiers termes, 0,69375. Par conséquent,

En eflfet,

VL Remarque, — La formule (9) donne, en fonction de ^2, la somme de la série

C'est un résultat auquel on pouvait ne pas s'attendre, en considérant celui-ci :

'^p-+-2 "**(^2Xp-i-3)"*'(pH-2)(p-4-5)(p-+-4)"' "y~ ^^

(*) Cours (T Analyse, p. 30.

VII. Une limite. — Divisons, par (1 -hx/, les deux membres de régalité (6), puis faisons croître indéfiniment p. Nous trouvons

l(i -h xY\ i -*- a? 2\1 -H x/ 3\i + xJ '

et, si OC = 1 :

VIII. Suite. — De l'égalité (5) on déduit, en prenant les dérivées des deux membres,

(Jp \ «=00 «./l

et, si X = i :

en supposant

L'égalité (9) revient à celle-ci :

Donc, par soustraction,

aal