III. Remarque. — 5i a 4- b -+- c es< premier y

cp(a,6) = JR[i.2 3 ... (c -*- 4)].

(*) Presque évident

(**) Le signe -♦-, si c est pair,

(***) Cette propriété généralise celle-ci :

que i*on trouve dans ma Démonstration du théorème de Staudt {Note LXXVI).

CCÏÏaILWEU. — DenuL Intéi^rales déflnles.

(31ars 1887).

I. Dans la Note sur une formule de M. Botesu, on trouve /'«r X" X"-* F(a;") — x"! ,

F(a;") représentant

Si l'on fait n = 1, 3, 8, ... et que l'on ajoute, on a donc n î ^ i F(x)^F(xV- X 1

' / l(i — X)(l— X*) (i'-X^)^X 1 -4- X ( 1 -- jc)(l — a;«)J

Mais

Conséquemment, la relation ci-dessus se réduit à

/^« dx rx(l -+- 2x — X*) / i--x*L 1-x»

Celle-ci est la première des formules annoncées.

IL Pour en conclure la seconde, j observe qu'un calcul fort simple donne

Donc, par addition :

dx

/* xdx ^ i =JP'2

y^* rfx r 2x 11 ^ 1

(*) Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 65; Sur un tableau numérique,,., etc.

CCIiXIX. — fSar le théorème de ^PTilson.

(Août 1887.)

I. Le théorème de Wilson {*) peut s'énoncer ainsi : Le nombre entier 2n -h 1 est premier ou composé y selon que le produit 1.2.3 .. 2n, augmenté de l'unité, est ou n'est pas multiple de 2n + 1. On y peut joindre les remarques suivantes (**) :

1* Si 2n H- 1 est composé, mais non égal au carré d'un nombre

premier,