IV. Théorème. — La somme

n'est pas un nombre entier.

(*) Ce calcul De diffère pas de celai que Ton trouve dans tous les Traités d'Arithmétique.

(Ui )

Il y a deux cas h distinguer, selon que n est premier ou composé :

1** n premier. Posons

B n nB

la fraction g étant supposée irréductible.

Tous les facteurs premiers de B sont inférieurs à n; donc B est premier avec n; donc, d'après une propriété connue (*), S est une fraction irréductible.

^ n composé. Soit p le plus grand nombre premier compris dans la suite 2, 3, 4, ... n. D'après le Postulatum de M. Bertrand, p surpasse | ; donc, p ne divise aucun des nombres p -h 1, ... n.

Cela étant, soit

Le dénominateur B est composé de facteurs premiers avec p ; donc il est premier avec/); etc.