AB'+BA

ew/rc cuXf la fraction ; — est irréductible.

(•*) Connu.

(•**) On doit prendre le signe -^, si n est impair.

Donc

'Sm, fi

.ni(2n-i-i) 1.!2.d... n

Le premier membre est un nombre entier; donc le numérateur de la fraction est divisible par le dénominateur. Et comme les facteurs 2, 3, ... n sont premiers avec 2n -+- 1, cette fraction est réductible à la forme JIL (2n -ht).

CCIiXHk. — Conséquences d^une division alf^éliriqae.

(Août 1887.)

I. Soit à déterminer le quotient entier de x"* par (x et le reste de la division ; de manière que

Si Ton fait x = 1 -f- z, on a

-in

et, par conséquent :

ou bien :

Q = (a:^i)--''-HC«,,(x~ir-''-«-fC,,,(x-l)«-''«^.. . + €„.,„ (2)

II. En opérant autrement, on peut développer Q suivant les puissances de x. En effet,

donc

Q = x«-' -*- Cp.jx-"-* -f Cp+,,,x-^-» H- ... -h C,.|,«p. (4)

III. Identités. — D'après les formules (2), (4), on a, identiquement,

et, en particulier :

^ — C^,i -+- C„,, zfc C^,p= ••• rfc C^i,«p (**). (C)

IV. Autres identités. — Après avoir mis (A) sous la forme abrégée :

prenons les dérivées d'ordre r, et divisons par 1.2.3... r. En observant que les termes de degré inférieur à r ont des dérivées nulles, nous avons

OU, par un changement de notation.

(*) Le nombre des termes, dans chacun des deux membres, est (**) Cette relation est due à M. Genocchi. Voir la Note GXC.

Si, dans celte relation générale, on suppose x x = 1, on en déduit :

0, puis

2^^^.? • Cm-p-q,*-q{ 1)' ' == Cp^, ,., ,

Soient, par exemple,

On doit trouver :

^6,5 -*" Cj^i • ^5^2

— 20-1-8. iO 20 -f- 2.10

et ces résultats sont exacts.

^3,1» C*,! -H €4,1 = Cg^s;