IV. D'après la Note CXCVI, si

N =■ (o' -I- e*)T — 2[(o» -+- 6' -+- c') c' — oV] ^3 + (6» -.- c'fg*, (4) on a

Supposons que a* h- 6* -+- c* soit un carré w*. Alors (a« -f- c^N = j (mV — aV) 3 — (a« -♦- c») /* ! ' -*- 4a'6Vmy

e«^ une somme de deux carrés. Donc, en vertu du théorème, N estf pareillement^ une somme de deux carrés entiers {*). Mais l'application de la formule (3) donne deux carrés fractionnaires (**).

Soient, par exemple,

d'où

puis

D'autre part, au moyen de la formule (4) :

y. La formule (4) étant écrite ainsi :

on voit que N est une somme de deiAX carrés, si fg est un carré (***).

(*) Au moins si les deux parties du second membre sont premières entre elles.

(**) Cette sorte de paradoxe a été Toccasion de la présente Note. (***) Complément à la Note CXCVi.