CCILIX. — (§^iir une formale attribuée à M. Herntite

(Août 1884.)

I. Dans le Bulletin de Darboux (*), on lit, à propos d*une Note de M. Stieljes :

« En faisant usage de la relation suivante :

g ^ 4qf* ^ 9çO 4- 169'* -^ ••• =(1 H- 2gf -»- 27-*- âg* -*- Sç* -^ •••)

9 <jf* 9»

.(! H- 9)' (1 + qy (l -H 9V » qui lui a été communiquée par M. Hermite, Tauteur.... »

Corrigeant la faute typographique, et changeant 9 en — 9, on trouve

Il semblerait donc, d'après M. Stieljes, que cette formule est due à M. Hermite. Or, il n'en est rien (**).

II. Remarques. — D'après Jacobi (***), l'égalité (A) peut être remplacée par celle-ci :

1— 25r-+-29* — Sç'-f--. 1—?' 1—9* 1—9

laquelle est plus simple Q^y

C) Juillet 1884, p. 105.

(**) Voir, par exemple, mes Notes sur la théorie des fractions continues et sur certaines séries (pp. 57, 58 ; 1885). Voir aussi les Recherches sur quelques produits indéfinis (p. 92).

(*"*) Recherches,,. y p. 93.

(^') Gn peut voir, dans les Notes sur la théorie..., les propriétés qui en résultent.

CCIL^K.. — Coarbes ayant mèine loni^aeiir qu'une

eUipse donnée.

(Janvier 1888.)

I. Soit une ellipse £, tracée sur un cylindre vertical, et représentée par les équations

x«-+.y* = R', -==:tga. (i)

Soit, en second lieu, une eourbe G, à double courbure, ayant pour équations

x'* + y" = R', x'y' = az'. (2)

On peut disposer du rayon R' et du paramètre a, de manière que, dans les développements des deux cylindres projetants, la transformée E' de E, et la transformée C de G, soient égales. S'il en est ainsi, un arc quelconque de G, et Tare correspondant de E, auront même longueur.

On satisfait aux équations (1), en prenant

x==Rcosû}, t/=3R$ina), 2r = Rtgasinci}. (3)

De même :

x' = h! cos », y' == R'sinw', z' = — sin «'cos a\ (4)

La condition d'égalité, entre les transformées E', G', donne les

relations :

R«=:RV, z = z'; (5)

lesquelles sont vérifiées par

co'==-w, R' = 2R, a = 2Rcota.

Les équations de la courbe G sont donc :

a;' = 2Rcos-, y' = 2Rsin-, z' = Rtgasinttï. (6)