I. On Ht, dans la Théorie des Nombres

« Théorème. — Tout nombre premier A est de la forme

» Considérons plus généralement Téquation

1» AA' = p' -t- qf* -+- r' -4- s',

» dans laquelle chacun des nombres p, q, r, s, sera supposé

» moindre que ^A» on aura A'A < ^A^ ou A' < A (***).

» Et d^abord si on avait A'=l, il est clair que A serait

» égal à la somme de quatre carrés, et la proposition serait

» démontrée ('').

» Soit donc A' > 1, et parce que A' est diviseur de

» p* H- g* -+- r^ H- s^, il sera aussi diviseur de la quantité

» (p — aA')* -*- (9 — pAf -♦- (r — r A')* + (« — ^A')',

» a, [3, ^, ^ étant pris a volonté. Supposons qu on prenne ces » indéterminées de manière qu'aucun des termes p — aA\ » q — PA', etc., n'excède ^ A' {^): alors si Ton fait

» A'A" = (p — aA'f -4- (9 — pA')* -+- (r — r A')» + (s — e^A')*,

» on aura A'A" < j A'A' ou A" < A'. Maintenant si au moyen » de la formule du n" i SO (") on multiplie la valeur de A A' par

(•) Addition à la Note CCXVIII.

(**) Tome I, page 214, édition de 1830.

('") Voir la Remarque (A).

(»') Voir la Remarque (B).

(') Remarque (C).

(▼i) Faute typographique : on doit lire 152. Voir la Remarque (D).

» celle de A' A''^ on trouvera pour produit une somme de quatre » carrés dont chacun sera divisible par A'A'; de sorte qu'en » divisant tout par A'^, on aura

• AA" = (A — ixp — pq ^rr — <?«)* -+- (<xq — pp -+- ys — âr)^ -4- (ar — yp -^ âq — ps)' -*- (a« — (î)p -4- pr — y'qf)'.

» Gela poséy si on a A"=»l, la proposition sera démontrée; » mais si on a A'' > 1, on procédera de la même manière pour » obtenir un nouveau produit AA'" exprimé par quatre carrés, • et dans lequel on aura A"' < A". Continuant ainsi la suite des » entiers décroissants A, A', A", A'", etc., on parviendra néces- » sairement à un terme égal à Tunité; donc alors le nombre > premier A sera exprimé par la somme de quatre carrés {*). >

(A) Soit

N =/)' ^ g» + r' + s« « AA'; {\)

et, par conséquent, A > j/N. Un nombre donné, N, n'admet pas, nécessairement, un diviseur premiery supérieur à |/N. Par exemple, si N = 27, lé plus grand facteur premier de N est 3.

Legendre ne démontre donc pas le théorème énoncé : il prouve, tout au plus, celui-ci :

Si un nombre N est la somme de quatre carrés, tout diviseur de N, supérieur à yîîy est la somme de quatre carrés.

D'après la Remarque (A), la proposition ne serait pas démontrée,

p — a A"^iA', mais

(p-aAr^(iA')':

il s'agit de la valeur numérique de jo — aW

(") Remarque (E).

( iei )

(D) La formule citée est celle d'Euler :

(p« -4- ^ -4- r* H- 5')(p'* -f- q'^ -4- r" -+- s") = (pp' -*- q'q' -*- rr' -*- «s')' ^ (pqr' — qrp' -♦- r«' — «r')' } (2)

"♦" {P^' — ?*' — *"?' "*" ^î')' "*" (P*' "+" 9^' — ^Q' — *P )*• Si Ton fait :

p'=.p^aA\ 9' = 9 — pA', r' = r — rA', s' = s -- (JA', (3) elle devient

AA"A"= [p« -H 9' -t- r« -^ 5' — A'{pa ^qp^rr-*- s$)J

^- [p (9 - pA') - 9 (p — aA') ^r (s — e^A') - « (r — r A')]* -t- [p(r — rA') — 9 (s — <yA'j ~ r (p -- «A') -+-«(? — pA')]' -4- Îp(« — âX') -^qir — rA') - r(qf — pA') — s(p — «A')]'.

Le second membre égalant

[AA' — A'(pa -4- 7P -♦- rr H- sJ)]' -4- [(aqr — pp) A' -4- (r« — tîrj A']« -H [(ar — rp) A' -4- (Sq — p«) A']' -4- [a,s — ^Jp) A' + (pr — yq) A'J',

il reste

AA" = (A — ap -^ pqf — rr — ^sf h- {(^q — Pp -f- r« — <îr)* ) -4- (ar — rp-^ ôq — p*)' -4- (a« — (îjff -4- pr — r?)', )

comme l'écrit Legendre.

On a vu, dans la Remarque (A), que le théorème énoncé n'est nullement démontré. Il en est de même, par conséquent, pour le théorème de Fermât : « Un nombre quelconque est la somme 9 de quatre ou d'un moindre nombre de carrés » (*).

(*) Théorie des Nombres, t. I, p. 215. L'illustre Auteur se contente de dire : « C'est une conséquence immédiate de la proposition qu'on vien » de démontrer, et du lemme qui la précède. »

Autres Remarques.

1. Lagrange, à qui Ton doit la première démonstration» du théorème de Fermât^ n'a pas commis les inexactitudes que nous venons de signaler; néanmoins, cette démonstration ne nous semble pas irréprochable. Après avoir énoncé ainsi la proposition préliminaire :

< Si la somme de quatre carrés est divible par un nombre » premier 'plus grand que la racine carrée de la même somme, » ce nombre sera nécessairement égal à la somme de quatre » carrés (*) », et Tavoir prouvée très péniblement, Lagrange ajoute :

« GoROLLAiAE. — Si uu nombre premier quelconque est un » diviseur de la somme de quatre carrés qui n'aient point de » commun diviseur, ce nombre sera aussi la somme de quatre >. carrés.

« Car nommant, comme ci-dessus, A le nombre premier » donné et p* -+- 9* -+- r^ -f- s^ le nombre composé de quatre » carrés qui est divisible par A, il est clair que, si chacune des » racines p, q, r, s était moindre que j , on aurait

» de sorte que A serait plus grand que (/p* h- g* •+• r* h- «*

» comme on Ta supposé dans le Théorème précédent ; donc, etc.

» Or je dis que quels que soient les nombres p, 9, ..., on peut

» toujours les réduire à être moindres que --; car soit, par

» exemple, Jt> > ^ , il est visible que si

p' -f- 9* -4- r* -f- s* » est divisible par A,

(p — mA)* -♦- qf' -h r' -♦- «'

(*) OEuvres de Lagrange, publiées par Serrel, t. lU, p. i93. Les défauts que nous venons de signaler ont été aggravés par Le Besgue. dans ses Exercices d'Analyse numérique (pp. ^06, 107). lis me semblent avoir été évités par Serrel (Cours d'Algèbre supérieure, troisième édition, t. Il, p. 94).

» le sera aussi, de même que

(mA — pY -*- q»' -4- r' -4- «' ... »

Ceci fait', Tillustre Géomètre établit cet autre théorème auxiliaire :

Étant donné un nombre premier A, on peut toujours déterminer deux nombre entiers, a, b, tels, que a* -4- b* h- 1 soit divisible par A (*)•

II. On peut former, bien simplement, la valeur de A". En effet, des équations

on lire

A' ou

m. Dans ridentité d'EuIer (D), changeons de notation, de manière que l'égalité

soit vérifiée par :

gf = — fa' -4- ap' — ^r ' "♦- r*^', r = — ra' H- (îp' -4- ar' -^ P^j

5 = — ^a' — rp' -4- Pr' -<- «(T.

Si Ton pose

il résulte, des équations précédentes :

Aa' = pa — qp — ry — «eî, \

Ap' = pP -4- Ça -4- rt? — sr> Ar'= pr — q^ -4- ra -+- «p, A(î' = p<y -H qir — rp -4- 5a;

(^) Legendre commence par là {Théorie des Nombres, t. V, p. ^ii).

puis

'8ê\* //)|3-*-ga-t-r^— «r\*

>(iO)

Si chaque fraction était réductible à un nombre entier, le théorème suivant serait démontré :

Soit N =» AA', ks trois nombres étant entiers. Si N e^ A sont, cliacunf la somme de quatre carrés entiers, le quotient de N par A est, également, la somme de quatre carrés entiers.

Mais cette conclusion (vraie) serait trop précipitée.

Prenons, par exemple.

puis

Nous trouvons, par les formules (9) :

3* -4- 53* -4- 85' -*- Uy

En conséquence :

l"" Si un nombre N, égal à la somme de quatre carrés entiers, est divisible par un iiombre A, égal à la somme de quatre carrés entiers, le quotient ~ peut se présenter sous la forme d'une somme de quatre cannés fractionnaires ;

(*) Si Ton veut, au moyen des formules (9), trouver des valeurs de a', P', S', Y) ^^^ soient entières, on peut faire

quantités dont la somme des carrés est 462. 11 résulte, de ces hypothèses :

2** Un nombre entier peut être la somme de quatre carrés fractionnaires (*).

Par exemple,

etc. (**).

IV. Si l'on admet le théorème de Fermât, il en résulte celui-ci, généralisation du théorème d'Euler, employé par Lagrange :

Tout nombre entier est, d'une infinité de manières, égal à la somme de quatre carrés fractionnaires (***).

CCIiXXT. — Sur an théorème de Gaiiss.

(Septembre 1887.)

I. A la page 285 du Journal de Liouville (tome II, 1837), Le Besgue s'énonce ainsi :

« De là ce théorème de M. Gauss :

» La quantité

» est toujours égale à

, (mod.p)

» en prenant

p = L' -^ 4M* » et

{*) Ces remarques, peut-être nouvelles, complètent ce que Ton a vu dans la Note GGXVIII.

{**) Dans chaque décomposition, les numérateurs doivent, bien entendu, être premiers entre eux.

(***) Voir, civdessus, les décompositions de 7.

Autrement dit :

« Soit un nombre premiet^

» En supposant L =» 1 -4* 4n, on a

==» Jït{p) =b L. . (A)

Prenons 11=36, u==0, M=I ; valeurs d'où résultent L=l, /)=55. Nous devons trouver :