II. Si Ton fait
régalité (28) prend la forme
sin(x-t-y-*-je)sin(x-f-2y-*-js) — sina;sin(x+i/) — smzs\n{y-^z) ) = 2cos(ar-4-y •+-z)sin(x-*-y)sin(y-»-z). j
Ainsi, la fonction contenue dans le premier membre est calculable par logarithmes.
Calculs de déterminants,
15. Si le système des équations (20), ... (35) est déterminé^ nous aurons ce théorème, peut-être nouveau :
Les quadrilatères Q, circonscrits aux quadrilatères P ayant les mêmes éléments I, A, B, C, D, sont tous égaux entre eux (*).
Les coefficients des inconnues, dans ces équations, étant :
sin(M -*- N), î
sinM, 0;
sînN;
sinM, — siQ(N-4-D), sinN,
0, sinN, siD(M-HN),
sinM;
sinN, 0, sinM,
lieu de former le déterminant
— Aj A 0, g
A— A, J, O9 Sf, A, f
et d examiner s'il est différent de zéro quand
/'«sinM, j = 8inN, A = sin(M-HN), A' = Hn{N-f- P). (3i)
On a
A = — [AA, ■+■ /A, + g^^] ,
en su|
)posan( :
flf. K f
(*) C'est le théorème supposé ci-dessus (13).
( 177 ) Or :
Donc, au lieu de la formule (^3) :
^ = (r-g'-hhy^
expression remarquable {*).
te. Revenant aux valeurs (31), nous avons
Va = sin'M — sin'N — sin(M -h N)sin(N -f- P),
21/ A = — cos2M -♦- C0S2N — cos(M — P) -^ cos(M -^ 2N + P);
et , si P = 71 — M :
Ainsi, quand le quadrilatère Q est inscriptible (ce qui a lieu), le déterminant A est nul.
(*) D*après une application donnée par M. Dostor, dans sa Théorie det
déterminants (p. 62), on a
A 9f -hh'
f» — g* — hh' =
Ainsi : le déterminant â , à seize éléments, est le carré d'un déterminant à neuf éléments. D'ailleurs , par un théorème de Gauchy, ^ est un déterminant à neuf éléments ; savoir :
Nous ferons encore observer que, d'après cette formule, ou d'après la formule (33), la valeur de a dépend, uniquement, de f de g^ et du produit hh\
19. Comme les équations (20), ... (23) ne sont pas incompalibleS) et que le dénominateur A est nul, tes numérateurs des valeurs dés inconnues (*) doivent, de toute nécessité, être nuls. Par exemple, le numérateur de la valeur de ni étant (après suppression du facteur /)
f* =ij
cos-,
cos - ,
cos-,
il doit se réduire à zéro.
En effet,
^== Al cos —
Ascos — h As cos Ai cos -
r D A Cl
— A/i') U'cGs-^Z-cos-— jfcos- =0 n.
Les valeurs des inconnues m, n, p, q se présentant sôus la forme 5, on doit, pour démontrer le théorème énoncé (15), recourir à la Géométrie (***).
(*) Dans les formules de Cramer.
= fyh'—h'fg=.0.
(***) J'ai essayé de résoudre, directement, les équations (20), (25); mais, à cause de la complication des calculs, cette tentative n'a pas réussi.
Propriétés auxiliaires.
18. Si Ton se reporte à la figure % on voit que le théorème, dont il s*agit, peut être énoncé en ces termes :
Soit un quadrilatèi*e non convexe^ FAHG, dont la base FG est donnée, les autres côtés ayant des directions données (*).
Fig. 3.
Au milieu de AF, on élève la perpendiculaire KMN; au milieu de GH, la perpendiculaire IN, On trace encore la droite FM faisant, avec NMK, un angle égal à H.
Cela posé, M^ = const. (**).
(*) C'est-à-dire quMIs sont parallèles à des droites données.
(**) Autrement dit, quand le point A parcourt FKj le point N décrit une parallèle à FM.
Depuis que cette Note est rédigée, un jeune Collègue et ami, M. G. de Longchamps , m'a fait observer que le théorème à démontrer est compris dans celui-ci :
Sur les côtés Ox, Oy d'un angle donné, on prend OA = u, OB ss y; on
Soient :
FG = /, FA = 2x, AFM = «, MFG = |3, FAIÏ = r,
AHG== a.
Soit R rintersection des droites AH, FG.
L'angle HRG = t: — (y — « — (3) ; donc
FR«2x
sinr
sin(r — a — py
puis
RG = / — 2x
sin?^
sïn(r — a — p)
Dans le triangle HRG :
sinH L sm(r — « — p)J
sin(y — a — p)
COSa
iO. Pour évaluer KN, je m'appuierai sur le Lemme suivant, . facile à vérifier.
Fig. 4. •
élève AM perpendiculaire à Ox , BM perpendiculaire à Oy. Cela posé, si les variables u, v satisfont à une relation ayant la forme
ati H- 6v -f- C = 0,
le point M décrit une ligne droite.
Celte remarque est très juste ; mais, dans la question actuelle, il s'agissait, principalement, d'établir la formule MN == const. Le calcul précédent, bien qu'un peu long, n'est donc pcut-èlre pas inutile.
Sur les côtés FL, GL d'un triangle FGL, on prend FK=^ GI=fl'; pwt« on trace les perpendiculaires KN, IN à ces côtés. Les distances KN, IN sont données par les formules :
KN = -7—- r/'cos L -*- /cos G — ûf] , sinL
Dans le cas particulier considéré,
sin (y — a — p)
COSa
En outre, AL étant le prolongement de FA :
L = FLG s= — 7r «^ a — y.
sinL = — cos(a H- 7^), cosL = — sin(a-Hr)> G= — - -♦-(r— P), sinG = — cos(r — p), cosG = sin(r — p).
Nous avons donc
KN=— - — - xsina+r-/sin(r-pH-- /-2x .- "—^I-IL Ei ,
C0S(a-*-r)( 2L Sin(r— a — p)J COSa )-
(') Il en résulte
LN«= -— - [/^-*-Sf*-h/« — -2gr/cosG-2/"/cosF -i/pcosL]; sid'L
puis
KÎ* = /•• -♦- gr" -4- /• - 2gr/cos G — 2/"/cos F — â/îjf cos L.
Par conséquent, si Ton conçoit un angle trièdre 0, ayant pour faces F, G, L, et que Ton construise un point M dont les coordonnées soient /!, g^ l, on aura
OBf=KI.
( ^«2 ) Il est visible que KM^=>x tga. Par conséquent,
MN^i/"°(^-"-P;-/'.i^<21ll£;^Kx. (54)
2 cosacos(a -♦- y) cos(a -♦- y)
en posant
^ r . V sinrl
K « — sin(a -^ r) — iga.
C08(a-»-r)L cosaj
Or,
K = . sin(a-f-r)cosa — sinr — sinacos(«-*-r) 1 = 0:
C08aC08(a-f-r)L J
donc la formule (54) se réduit à MiN = ; cos(r — a — S) — 2sin{y — 6)cosa ;
2c0SaC0S(a -t- r)L J
ou, plus simplement, à
MN==-^'"<^-P-"'in. (35)
2 C0SaC08(a H- y)
Cette quantité étant constante, le théorème que nous avions en vue est démontré.
to. Soit (fig. 5) ZNYX la parallèle à FM, menée par le point N, c*est-à-dire le lieu de ce point. Menons FZ parallèle à MN. Il est clair que, Y étant Tintersection de ZX avec F6 :
„ sinM / sin (r — 3 -*- «)
FY=MN-— r---— f V4'
sinY 2 cos((x -♦- r)sinp
/sin(r— 'p — a) /8in(p-f-a -f-r) 2 cos(a -H r)8inp 2 cos(a -♦- y)sinp
(*) En reprenant les notations primitives, on a :
cosassinM, cos(«4-r) = — sinN, siD(y — j3 -f-a) = sio -
Par suite, . D
sin — / â
âsinMsinN' ee qui ne diffère pas de la formule (25).
On conclut, de ces deux expressions,
FY^8in(p— a — y) GY """ sin(p -¥- a ^ y)
Ainsi 9 la droite ZX divise FG dans un rapport très simple.
Relations entre les quadrilatères P, Q.
