Remarque. — Un changement de lettres donne

nV/4p»- 9* -+- çW" 4p* — «' = wl/4p* — p* -^ pl/4p* - m*;

puis ce théorème, qu*il est facile de vérifier :

Dans tout quadrilatère inscrit, MNPQ, dont les apothèmes sont OM', ON', OP', OQ', on a

MN.OM'+ PQ.OP'=NP.OM'-*-MQ.OQ'; ou bien :

Dans tout quadrilatère inscrit, la somme des rectangles formés

par un calé et l'apothème opposé^ est constante^ si Von prends dans chaque somme, deux côtés opposés^

Fig. 7.

). Propriétés numériques. — Changeant de notation, appelons r/, 6, c, d les côtés successifs d'un quadrilatère inscriptible, et R le rayon du cercle. En posant

N = (flô -♦- cd)(ac -\- bd){ad -h 6c),

A=( — a4-6-*-r-4-rf)(a — 6-4-c-+-d)(a-t-6 — c-hd)(a-t-6+c — rf), (55)

pous avons, par une formule connue,

Il n'est pas difficile d'établir ce théorème, assez curieux :

A, B, C, D étant des quantités rationnelleSy on a

ou, ce qui est équivalent :

Considérons, par exemple, la dernière égalité. D*après la formule (54),

N = abc(P + (a«6« ^ 6V -*- cV)rf« -h a6c(a' 4- 6« h- c')rf ^ a»6V;

et, par la formulé (55) :

A «= d* — 2(a« H- 6« -f. c«)rf' — 8o6crf -♦- (a' — 6» - c')* — 46V. Gonséquemment, après quelques réductions,

4N — cPa =^ rf* — 2(a* + 6' -f. c')ci* — 4a6c(P h- (o* ^ 6* -♦- c*)V

^- 4o6c(a* -h 6» -+- c')d -*- 4a*6V, ou

4N — rf» A = [ci» - (a' -+- 6* H- c')rf - 2a6cl«. (59)

Ainsi

db D == d' — (a' + 6* H- c')d — 2a6c (*). (60)

3t« Remarques. — I. Posons

N| = (ab •+■ cx){ac -i- bx)(bc ■+• ax), A, = ( — a-+-6-hCH- x)(a — 6 -4- c -4- a:)(a -♦- 6 — c -*- x)(a -4-6-1- r — x).

Alors, par le dernier calcul,

Le poiynôme X est celui que Ton rencontre dans la solution d'un problème de Newton, et dans un problème relatif à Tellipsolde (**).

(*) Si cl= 0, le second membre est négatif; il s'annule lorsque cf = SR (voir la note suivante) Donc, si Ton veut que D soit positif, on doit attribuer, au premier membre, le signe inférieur.

(*')*Noie8 XI et XII. D'ailleurs, s} d = 2R = a?, le triangle ABC est inscrit à un demi-cercle : on retombe sur le problème de Newton. L'équation de ce problème est donc

comme nous l'avons rappelé dans la Note XI.