II. Si, dans la relation

„V/4p' — 9' -♦- 7V/4p' — n« = ml/4p' — p' + pV^4p« — m', (53)

on fait :

q^ — (m' ■♦- n' -4- p*)ç — 2fnnp n* — (m* -+- p* -+- ^')n — ^mpgf

etc., elle devient identique; ce qui devait être.

• Suite. — Dans la formule

mnpq

ap[nl/4p* - q'-*- 9l/4p» — n"J

substituons les valeurs précédentes, en supposant, comme nous venons de le faire,

Aï=(— in'hn-^p-i-q)(m — n-^p-^q) (m-4-w — p-*-qf)(m-4-«-hp-»-7). (62) *

Un calcul facile donne

mnpqV Aj

4p(mn -+- pq)(inq + np)

Et comme

il vient, finalement.

mnpq Ai

4(mn -♦- pq)(fnq -\- «p)l/^Nj

t. Remarque. — On a, entre le rayon r du cercle inscrit au polygone P, et le rayon p du cercle circonscrit au polygone Q, cette relation assez simple :

rp = mnpqVà^

4(wn -¥■ pq){tnq -¥■ np)

Quelques réductions,

84. Valeur de 1. — Afin de simplifier les relations (53) et suivantes, nous allons exprimer le périmètre du quadrilatère P, en fonction des éléments du quadrilatère inscriptible Q.

Fig. 8.

Supposons a =» 0. Alors P se réduit au triangle MGD. La construction indiquée (*) donne

MM'= SmsinN, MM"== 2</sinN,

Fm'* = 10* -*- MM'* -+- 2MM'. MM 'cosP; donc

P = 4sin*N{m' -+-</*—- 2mqfC0sM).

Soient MP = ac, NQ = y : nous avons

, __ («ip-t- nq^mq -^np) , ^ (mp -^ nq)(mn -^ pq)

^ "~ mn-^ pq ' " wç -4- np

(*) Problèmes et Théorèmes, p. ai.

D'autre part, la considération du quadrilatère MNPQ donne ces valeurs connues :

m* -4- 9* — n' — p* ^{mq -4- np) '

8inM«-^= î , (G8)

2p 2(m9 -4- wp)

8inN = î (j59)

2p 2(miï -+- pq)

Par un calcul facile, on trouve ensuite» au lieu de la relation (65) :

(mqf -t- np){mn h- pgr)