Expression d'un cosinus. — Soient, dans la figure
MON=.a, QOP = r.
Il est visible que
^os "^ = ^, ]y (4R» - a^) (4R* - c*) - ac] ;
(*) Ce théoFeme ne Uiifére pas de la propriété démontrée daifs la^o^eCCU (première Remarque \ Vénon'cé doit être rectifié ainsi : Chacune de ces quatre distances est une quatrième proportionnelle au diamètre du cercle circonscrit et aux diagonales du quadrilatère.
( ^^S ) ou, avec les notations du paragraphe (M) :
a -k- y AC — ac^
cos =» , (72^
valeur rationnelle.
Nous avons trouvé :
De plus, comme on peut le vériGer,
A = —2 a* -+- ^2 «'6* H- 8a6cd. (73)
De là résultent ces deux formules :
AC — oc A = 2(6* -f- d* — a* — c*)(a6 -♦- cd){ad -+- 6c), (74)
cos — - — = — ; (75)
2 2 ac -^ 6d ^ '
puis celle-ci :
cos = i^ Î-- (76)
2 2 mp -♦- nqf
89. Remarques. — I. On a vu (•», note), que -y- est l'angle des diagonales x , y.
Donc, par analogie avec les formules (68), (69) :
sin = (77)
2 2(mp -*- pq) .
Cette expression, beaucoup plus simple que celle qui a été donnée ci-dessus (52), s'accorde avec la formule (76). Il en résulte, en eflfet, Videntité
4(mp -f- iiqY = (»* -♦- g' — m' — p')' |
-t-(— m -+-n -♦-/}•+- g')(m — n-t-p-t-qf)(m-»-w—p-*-qf)(m 4- w-f-p—-^). )
II. Si a* -h c^ = 6^ -h d*, fe^ angles a, y 5on^ supplémentaires : celte condition est nécessaire et suffijsante (*). Quand il en est
ainsi,
(ab -+- cd){ad -\- bc)
ac -^ bd
{*) Au moyen du raisonnement dont nous ayons fait usage dans- la Note CCLXV, on rend la proposition évidente, sans calcul.
CCIiULXWII. — liettre à M. BAttaylInl (*).
Monsieur le Rédacteur,
J'ai reçu, il y a quelques jours, par rentremise de mon Collègue Mansion, la dernière livraison du Giomale di Matematiche. A la page 155, on lit ceci :
« La série a termini positivi '
» U| -4- tlj -H ••• -t- tt„ -4- •••
» è convergente, se tutti i suoi termini decrescono col crescere » di Tïf e se è inoltre, per n = oo , lim nu^ = 0... ».
Autrement dit (si je comprends bien) :
« La série à termes positifs
» Mj -+- Ua -+- ••• -f- W^ -H •••
» est convergente, si tous les termes décroissent quand n croit, » et si, en outre, pour n = oo , lim nu„ = » .
Cette proposition, émise, il y a soixante ans, par L. Olivier {Journal de Crelle, t. II, p. 34), est fausse, ainsi que Ta montré rillustre Abel {**), Gomme son devancier, votre Collaborateur pense que : la série est convergente, si la somme
tend vers zéro, quand n augmente. Or, cette hypothèse n'est pas admissible ; car la série (***)
il 1 1
2j^2 34;»3 (n-hl)4^(w-4-l) (2n-+-l)4;>(2n-*-l)
(*) Publiée dans le Giomale di MatemcUiche (septembre 4887).
(**) OEuvres d'Abel, publiées par M. Holmboë (i'« édition, t I, p. i i I).
(***) Considérée par Abel.
( <97 ) est divergente, et cependant
L(n H- 1)4^(w -H 1) (2« + i)f (2ii -H i)J
Agréez, etc.
Liège, 23 septembre 188Y.
CCIiULULVIII. — I^ettre à M. Hemtite.
Mon cher Monsieur Hermite,
En lisant, Tautre jour, le commencement de votre intéressante Note Sur les valeurs asymptotiques, je me disais : « Il me » semble que j*ai fait des recherches analogues à celles-ci » . Comme vous allez en juger, je ne me trompais pas.
Hier, j*ai été à Liège; et, dans un vieux cahier, à la date du 11 avril 1870, j'ai trouvé ce qui suit :
« D'après une citation de Tauteur (*), Clausen a donné la » formule :
• La vérifibation est facile.
» Le second membre égale
2 ^^"'^ fi -♦- 2x" -+- î2x'" -i- 2x'" -+-•..].
(') Curtze.
(**) Je crois que la formule de Clausen est, également, dans les Fundamenta.
» Soit A„ le coefficient de x'*, et soit N = n* -f- pn. On voit » que A(, = 3 fois le nombre des solutions de l'équation précé- » dente, augmenté de 1 si N est un carré. Mais cette équation » est ^ =» n(n + p) : /e nombre des solutions est celui des divi- » seurs de N ; ce qui fait retomber sur ie point de départ. La » formule de Glausen (formule bien remarquable) est donc » démontrée ».
•* En lisant ce que je viens de souligner, on serait tenté de croire que j'ai voulu vous copier. Heureusement, les dates sont là!
Parmi les centaines de résultats contenus dans mes Recherches sur quelques produits indéfinis, permettez-moi de vous rappeler ceux-ci :
ce
.Za-t
Si l'on fait n = di (i, impair), le nombre des solutions de l'équation
tî H- il
est égal à la somme des cubes des diviseurs d, etc.
(*) Si Ton met cette identité sous la forme
ao 00
chacun des coefficients A^, Bn égale la moitié du nombre des diviseurs de 4n — i,
(**) Le premier membre est la série de Lambert. Dans le second membre, a + i est le nombre des puissances de 2 qui divisent n.
(***) f4u+i est l'excès du nombre des diviseurs de 4n-*-4, ayant la forme 4u-+-l, sur le nombre de ceux qui ont la forme if* — 1.
