III. — Sur une formule d'Eisenstein (mai

Cette formule, qui donne une transformation de la série de Lambert, est

Ll-2 i—Z^ i--Z^ J \—Z (\—z)(\--

E = (1 — 2)(1 — Z*)(l — 2^)(1-2*)...= 1— 2-.2' + z''-Hz'— z" —

On peut écrire autrement le second membre. En général,

T. ï = y F(Wj P) z" ;

F(w, p) est /e nombre des décompositions de n y en parties égales ou inégales, non supérieures à p (Recherches,,,, p. 47). Donc

p<P-HO

(1)p-*p ; = y (—\y-'pF(n, p) Z « . (2)

Soit

ou

Alors

e^afe /e nombre de manières de partager N en p parties inégales

(*) Journal de Crelle, \. XXVII.

(**) Introduction à V Analyse ^ p. 2i5; Recherches.,., p. K4.

Ainsi, le coefficient de z^ est

(N, i) — 2(N, 2) -♦- 3(N, 3) db N(N, N).

Soit maintenant 6(N) le nombre des diviseurs de N. Il est visible que, dans le premier membre de (A), le coefficient de z^ est

On a donc cette relation entre deux fonctions numériques, bien différentes :

Application. — Soit N = 19. On doit trouver

ou (**)

ce qui est exact.

Si j*avais sous les yeux les Mémoires de Liouville, je pourrais, peut-être, tirer quelques conséquences de cette égalité (B). En attendant, si sr(N) représente chacun des deux membres, on a (sauf erreur de calculs) :

a(12) = 4, o(13)=i, cr(14)« — 1, i:r(15)==4,..., a(33)=0.

Ces coefficients semblent osciller entre deux valeurs extrêmes. Qu*en pensez- vous T

(*) Esi-elle connue?

C") Recherchée..., Table I.

D*après votre obligeante indication, j*aî consulté le Mémoire de Liouville (Journal de Mathématiques, t. V, p. 443). Notre illustre Maître dit :

cPz dz

« (X — x') — H-(l — 5x') xz = 0,

ox ax

> ou plutôt l'équation plus simple

> que l'on en déduit en posant

k'x — x' Rien de plus. Il ne fait pas observer que, si Ton prend

X = \/x / ^ d(fV \ — x*sin*(p.

on a

Somme toute, mon équation

est un peu plus simple que Téquation (5); et l'on en peut écrire, tout de suite, Fintégrale générale.

( âOâ )

Aussitôt après vous avoir envoyé ma vieille formule :

+" dx

j'ai reconnu (ce qui n'était pas difficile) qu'on peut la généraliser ainsi :

Soit y une fonction impaire de x, telle que la quantité

reste finiey quand x varie entre — a et -4- a. Cela posé :

dx

/*■»-• dx =a.

Voilà donc une infinité d'intégrales ayant même valeur. Je n'ai pas besoin d'ajouter que la proposition est presque évidente. A-t-elle été remarquée?

Je vous souhaite, mon cher Monsieur Hermite, la quiétude et la bonne santé dont jouit, à Spa,

Votre bien dévoué très Ancien,

$pa, 27-28 juin 1886.

CCIiXXIlL. >~ Circonférences focales {*),

(Janvier 1878.)