I. Quand on identifie Téquation

avec

(x — af -^ (y — p)* = {my -*- nx -*- /)*,

on trouve, comme expressions des rayons vecteurs :

Ma=o-f--x, M =a x;

puis les équations des deux directrices :

Semblablement, Téquation (1), mise sous la forme

(x — a)* H- (y — p)' — R* = {my -+- nx -h /)*, donne, non seulement Téquation des circonférences focales :

mais encore les équations

de deux séries de droites, que Ton peut appeler droites radicales. Chacune de ces droites est la corde de contact (réelle ou imaginaire) commune à Feilipse donnée et à une circonférence focale (***).

(*) A propos d'une Note de M, Boset (Bull, de l'Académie, juin 1887).

(**) Loe. cit.

(***) En effet, rélimination de y*^ entre les équations (4), (2), conduit à

De plus, la distance d*un point M ^ de la courbe^ à la droite radicale, et la longueur de la tangente correspondante MT, sont dans un rapport constant (*),

IL L*équauon générale des courbes algébriques, susceptibles d'admettre des circonférences focales est, éviden^ment,

P, Q étant des polynômes entiers (**). Par suite, si une courbe donnée admet de telles circonférences, son équation devra pou* voir être identifiée avec la relation (3).

III. Application. — Soit la conchoïde représentée par Si Ton met cette équation sous la forme

on voit que Ton peut prendre :

Donc la conchoïde a un foyer, comme Ta trouvé M. Boset.

IV. L*équation (3) permet de généraliser les propriétés des circonférences focales et des droites radicales, relatives aux coniques. En effet, M étant le premier membre de cette équation, soient S la courbe donnée, et L la ligne représentée par

(*) Ce rapport égaie celui qui existe entre les distances de M à la directrice et au foyer correspondant.

(**) Ces polynômes peuvent contenir a, p, R. Par exemple, dans le cas de l'ellipse, Péquation (3) est

(a? - «*• -4- (// - ;«)" -6M1 — ^j = f-a -îa? (Bulletin, juin 4877.)

L équation (3) est une conséquence de celle-ci et de

Donc : l'intersection de chaque circonférence focale, avec la ligne radicale correspondante, appartient à la courbe donnée.

€j€MJlL'%yL. — liur les nombres parfoits.

(Lettre à M. Mansion.)

Hier, seulement, j'ai pu prendre connaissance de Tintéressante Note de M. Sylvester, relative aux Nombres parfaits (*), impairs. Il me semble qu'elle peut être abrégée et simpIiGée.

Soit

a, 6, Cy ... étant premiers, impairs, et rangés par ordre de grandeur croissante. Si N est parfait, on doit avoir

ou

al t <r (^)

Soit P(/) le premier membre de la seconde inégalité. La Théorie des Nombres, de Legendre, contient une Table des valeurs de P(0, prolongée jusqu'à /= 1229 (***). Soit Q(n) le produit de n facteurs, choisis parmi

(*) MathesiSy mars i888.

(**) La relation (1), bien connue, a été employée par MM. Servais j

et Sylvester. /,'

(***) Le produit P(l) a pour limite zéro. (Voir, par exemple, les Exercices ^

d'Analyse numérique, de F^e Besgue, p. 158.) i

Il est visible que :

1" Le minimum de Q(1) est

^ Le minimum de Q(2) est

etc.

En effet, nous avons

Cela posé :

1** Si N est composé d'un seul facteur premier {*), la condition (2) se réduit à

Celle-ci n*est pas remplie; donc aucun nombre parfait n'est composé d'un seul facteur premier;

2" Si N est composé de deux facteurs, le minimum de Q(2) est

donc aucun nombre parfait n'est composé de deux facteurs

premiers;

etc.

Pour arriver à un résultat plus curieux, admettons ce Lemme» dû à M. Sylvester :

Aucun nombre parfait, impair, n'est divisible par 105. Alors,

(*) On fait abstraction des exposants.

cesl-à-dire

m<rïrr

ou encore

D'après la Table, cette condition est remplie à partir de /«» 127.

En conséquence (et c'est par là que je termine, faute de temps) : Si un nombre N, premier avec 105, est parfait, il est composé d'au moins vingt-six facteurs premiers, inégaux.

A mars 1888.

P. S. Le logarithme du produit

est compris entre 44 et 45. Donc le plus petit Nombre parfait, impair (s'il existe), contient quarante-cinq chiffres.

CCIiXlLXI. — liettre à M. Artbar Cayle^^.

Monsieur,

Un hasard heureux (je me trouve à Paris en ce moment) me permet de lire l'intéressante Note que vous venez de faire paraître dans les C\ R. (3 avril 1888). Je vous remercie, vivement, de votre appréciation de mon vieux théorème. La démonstration contenue dans le Journal de Liouville (t. VII), si elle est exacte, est beaucoup trop longue. Mais, vous le savez : les choses simples arrivent toujours tard. Aussi, c'est seulement vers 1866, que, laissant de côté mes anciens calculs, j'ai trouvé une démonstration géométrique, contenue en quelques lignes. Cette démon-

stration qui, me semble-t-il, diffère peu de la vôtre, a été imprimée dans mes Mélanges mathématiques (1"* édition), puis dans la seconde édition du même ouvrage (t. I, p. 62).

Agréez, Monsieur, I^expression de mes meilleurs sentiments.

Paris, 10 avril 1888.

Vous rappelez-vous que je vous ai fait une petite visite en 1851 ? Nous étions jeunes, alors!

CCIiXlLXII. — Sur la courbure des It^iies.

(Mars 1876.)

1. Problème. — Trouver la relation qui existe entre les cour' bures des trois projections orthogonales dune ligne L.

Soient MA, MB les projections de L, sur les plans zMy, zMx, perpendiculaires entre eux (*).

Soit, dans le plan zMx,

réquation de MB.

De même, dans le plan zMy, soit

réquation de MA.

L'ensemble de ces équations représente L, dont la projection, sur le plan acMt/, est représentée, elle-même, par

Si Ton prend x comme variable indépendante, on tire, de cette équation (3) :

dy^r d'y rY-9"r'

dx cp'' dx" (p'^

(*) Le lecteur est prie de faire la figure.

Par conséquent, A, B, C désignant les rayons de courbure des trois projections :

Si a, 6, c sont les cosinus directifs de la tangente à L :

donc, a, p, y étant les angles correspondants :

sin'a sin'B

9"C0S'p' /"'cos'a'

^^ sinVcosr .^.

"~C0SaC0Sp(/'"C0S*a— 9"C0S'P)

Éliminant /"', ç", on trouve cette relation entre les courbures des trois projections :

cosSsin'p cosasin^a cosrsin'r

II. Relation entre quatre courbures, — La formule connue : devient d'abord, à cause de

dy = —;dx^ dz = f'dx^ d'x = 0, etc. :

(*) On peut abréger ce calcul, mais en le rendant moins clair,

( 210 ) puis

^ - y.^y J^ fy i^ [irr - rr? ■*- ry -^ ?ti. (»)

Or:

Donc

ou

i sin*a sin*p sîn*>'

III. Remarque. — Si y = | ; les relations (A), (B) deviennent : sin'a sin'p 1 sin*a sin'p

On conclut, de celles-ci :

Ainsi : le rayon de courbure, d'une ligne quelconque, est égal à la somme des rayons de courbure des projections de cette ligne sur deux plans parallèles au premier rayon, et perpendiculaires entre eux (*).

(*) Cb ARLES DupiN, Développements de Géométrie, p. 88.

CCIiXXXlII. — Théorèmeri d'ArUhmétlqae.

{Mai 1887.)

I. Le triple de la somme de quatre carrés est toujours la somme de quatre carrés.

Ce théorème résulte, immédiatement, de Tidentité

-4- (a -*- c — rf)* -f- (6 -♦- c H- df. )

On peut supposer que les nombres a, b^ c, d soient rangés par ordre de grandeur décroissante. Gela étant, on a

Donc, dans le second membre de Tidentité, aucun terme n'est nul.

II. Le quintuple de la somme de quatre carrés est toujours la somme de quatre carrés.

On a, identiquement,

5(aî-4-6»-f-c*-4-d*) = (2a+6)»+(o— 26)»-4-(2c4. rf)V(c— 2rf)*. (2) Et comme on peut supposer

o ^ 6 "^ c "^ d, aucun des binômes n'est nul.