III. Le produit de la somme de quatre carrés, par la somme

de deux carrés inégaux, est toujours la somme de quatre carrés.

Dans l'identité connue

H- (/c -H gdf + igc - fdf, 1 ^*

( 2i2 ) je suppose

Aucun des binômes n*est nul ; etc.

IV. Corollaire. '— Si p est un nombre premier, ayant la forme iix-i- iy le produit d'une somme de quatre carrés, par p, est toujours la somme de quatre carrés.

Addition. — (Mai 1888.)

V. Le produit (Tune somme de quatre carrés, par un nombre impair, est la somme de quatre carrés (*).

VI. Tout nombre 8n h- 4 est la somme de quatre carrés impairs, dont deux, au moins, sont égaux (**).

(*) Théorème empirique.

{**) La première partie est connue (Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 99). Quant à la seconde, elle semble résulter des décompositions suivantes :

CCIilLXXlT. — ISar les lli;ne0 ^éodésiques des surfaces de révolution (*).

(Mars 1887.)

Remarques sur la Note.

t. Le curieux théorème de M. Jamet résulte de Inéquation

u^da = kds (**) , (1 )

laquelle résulte, elle-même, d'une combinaison convenable des

relations

ds d<ù

-- = const , u' -r- = const. (2)

dt dt ^

La première exprime que toute ligne géodésique est la trajectoire d'un point matériel animé d'une vitesse constante (***).

ft* D'après la seconde, des équations (2) : Soit une ligne géodésique, tracée sur une surface de révolution. Si l'on projette cette ligne sur un plan perpendiculaire à Vaxe^ le principe des aires a lieu pour la projection; ou, ce qui est équivalent :

' Soit une surface S, dont toutes les normales rencontrent une droite fixe, D; et soit C une ligne géodésique de S. 5/ l'on

(*) Bulletin de l'Académie de Belgique (1887). A Toccasion d'une Noie de M. Jamet (Bull., avril 1887).

(**) Je modifie un peu la notation adoptée par Thonorable Auteur. (***) Propriété bien connue. Dans son premier Mémoire sur les lignes géodésiques, Liouville s'énonçait ainsi : a Je prends pourpoint de départ » ce théorème connu (ou, si Ton veut, cette définition), que la ligne géo- » désique pour une surface est celle que décrirait, à la suite d'une impul- » sion quelconque, un mobile assujetti à demeurer sur la surface et dont » le mouvement ne serait altéré par aucune force accélératrice. » {Journal de Mathématiques y t. IX, p. 401.)

projette G sur un plan perpendiculaire à D, le principe des aires

a lieu pour la projection de ۥ

En effet, la condition

P 9 déduite des équations

prouve que S est une surface de révolution (*).

S, Naturellement 9 M. Jamet a formé les équations (2) en appliquant le prmcrpedej forces vives et la théorie des moments (**). Cette méthode, employée par Liouville (***), est ingénieuse et simple; mais elle a un défaut : elle introduit des éléments étrangers à la question. Or, il est très facile de former, directement, l'égalité (1).