u» ts |tt|M

la notation \u\^ signifiera par préférence la valeur réelle de u\ si une telle valeur existe. Nous verrons plus bas les conditions de l'existence et de la non -existence des valeurs réelles des puissances.

Il y a encore à remarquer qu'en écrivant une seule lettre pour ex-primer une puissance, par ex. z au lieu de u7j comme nous l'avons fait plus haut ($. 4.), cette notation n'est pas incomplète. Il est vrai qu'il auroit &llu écrire u^ss z.l^ au lieu de z^sm^s mais ce qu'on teouve pour une valeur déterminée z de u^ aura lieu également pour toutes les autres valeurs de cette quantité, puisque le choix de la vdeor déterminée de la quantité est arbitraire. Si l'expression d'une piûssanoe par une seule lettre se trouve seulement h un des deux côtés d'une équation oomme

propritiis deâ puiêioneeê* §• 12. form. 34. 15

par ex. dans r^atkm (10« f • 4. IV. )^ et quTon Teidlle exprimer en mèine temps tous les r^ultants que l'ëquation puisse présenter, il n^ a qu'à

écrire z. 1^ au lieu de z. Cela donne dans l'équation (10.) ii asB(«»1^3=

^ . 1^* r ss i''. 1 ss ;&'', pour 21^ s= tfi de sorte que l'équation (10.) ne change pas de forme*

On voit, par ce qui précède, que tous les théorèmes sur les puissances que nous venons de trouver ont été tirés uniquement des deux équations fondamentales (3. et 4.) sans le moindre secours étranger, sans recourir au développement en séries, ni à l'approximation ou à l'induction» Nous n'avons eu besoin que de la théorie des quatre premières opérations: addition, soustraction, multiplication et division, qui, sdon la nature de l'objet, doivent précéder la théorie des puissances. Ce mode de développement senible être propre m comme ailleurs à la méthode qui convient seule h l'analyse et qui, dans cette science, comme nous l'avons remarqué plus haut, est non moins importante que les résultats eux mêmes.

Mais puisque de cette sorte tout est fondé sur les deux équations hypothétiques (3. et 4.), il faut encore voir si la coexistence des deux équations fondamentales ne peut point être révoquée en doute à cause de quelque contradiction.

La coexistence des deux équations fondamentales (3. et 4.) a été déjà légitimée a posteriori par ce que toutes les conclusions fondées sur les deux équations (3. et 4.) ne nous ont induit nulle part à quelque contradiction* Mais on peut encore prouver a priori, comme suit, que les deux équations (3. et 4.) subsistent l'une à côté de l'autre sans contra-

diction. En écrivant l + r^ au lieu de k dans l'expression (u^^ nous au-

ft rons (ù^ ^> Cela égale, en vertu de la prenûdre équatk>n fondamentale

(3.) Il Çuyy*(M^y et cette quantité, en vertu de la seconde équation fou-

ydamentale (4.) est égale h u^.u ysszuy.u^ ou bien, en vertu de la première équation fondamentale ^ale â ii^« Donc on a suivant les deux équations fondamentales (3* et 4.)

Si. (uT)*'hr a «y+i.

16 (• 12. L DêfinHion. et propriété des puiisane^ê.

Mais le même resdtat peut être tiré de la aeconde" équation fondamentale (3.) seule sans le seoours de la première. Car elle donne

(uyf y^su) yf^szu^K Hotc une des deux équations (3. été.)} applt* quée isolement à une puissance quelconque^ donne le même résultat quc^ les deux équations appliquées conjointement. H suit de lu que les deux équations ne pourront être en contradiction*

On pourrait donner encore une autre démonstration de la coexîstfflice des deux équations fondamentales , en tirant Tune de l'autre au mojen du passage ordinaire des cas particuliers aux expressions générales. En supposant Téquation (3.)^ on commenceroit par démontrer l'autre équation (4.) dans les cas ou j et A sont des nombres entiers; puis dans les cas où j et Âr sont fractionnaires^ et en passant des valeurs rationnelles aux valeurs irrationnelles par le mode ordinaire^ on arriveroit aux cas ou , les cxposans sont irrationnels. Mais ce procédé swoit embarrassant et impliqueroit une sorte d'induction ^ a cause du passage des cas particuliers aux expressions générales; de Tautre côté on ne toucberoit pas les expo* Bans imaginaires, et enfin on trouveroit que la démonstration, même dans son étendue limitée, ne réussit pas sans faire une seconde hypothèse^ savoir celle u^zzzuy de sorte qu'au fond on retomberoit dans l'inconvénient d avoir deux hypothèses au lieu d'une seule. Donc, puisque cette seconde voie n'offre que des pertes sans profit, et que d'ailleurs la coexistence des deux équations (3. et 4.) peut être justifiée parfaitement, comme nous lavons vu plus haut, les deux hypothèses, ou plutôt postulat a^ dont nous sonunes partis, semblent être préférables.

Avant de passer au développement des puissances en séries, desquelles les fcmctions angulaires pourront être tirées ioamédiii^ement^ nous entamerons la recherche des facultés analytiques, en suivant une marche analogue à celle que nous avons suivie pour les puissances. Après nous donnerons des séries générales de développement applicables également aux puissances, aux facultés et ù d'autres fonctions analytiques.

IL DeJbiUioH et propriiiiê desfac^iés analytiques. §• 13* 14* farm. 35. — 43. 17

IL Déiînition et propriétés des facultés analytiques*

En smirant h méthode que nous venons d^appliquw aux puissances, nous supposerons hjpothëtiquement des fonctions de trois démens u^ Xy y soumises aux conditions suivantes: