l + «F+rt«p..., + «^"'*=r

Cela fait voir que si l'exposant k de la quantité 1^ est une fraction y dés nombres entiers m et X, non seidement la somme de toutes les valeurs t, Uy »\ a? ..•• oif- de 1^ sera zéro, mafa que les sommes des groupes de valeurs dont les exposans sont des multiples quelconques des facteurs du nombre \, s'fl 7 en a, le seront également Si par ex. A =6 on a non seulement

! + «+«• -f «• -fa* -fa'ss mais aussi

l + a»4.a* = et

Nous ne continuerons pas plus loin la recherche des propriétâi des puis»

sances de l'unité* dans le cas d'exposans fractionnaires.

Si k est un nombre irrationnel ou imaginaire, nk ne peut jamais être un nombre entier pour aucune valeur du nombre entier /?. Donc 1^ aura dans ce cas un nombre infini de valeurs diffiârentes «entre elles.

juaprieies des pmâsances. ^ §♦ 9, form. 28. — 32. 13

Les puissances de.l* à exposans eiitiws négatifs ne seront pas néoessai*'' rement égales dans oe cas aux puissances ù exposans entiers positifs.

Si A: est un nombre entier^ la quantité 1^ et aussi, en ywtu des écpiatiitais (17. et 18.) , la quantité u^ n'auront qu'une seule valeur*

La propriété des puissanoes de l'unité trouvée (§«6«) édairdt une oontradietiQn apparente de l'expression (13.) savoir

et de oeUe (17.)

qu'on en tire. La contradiction apparente consiste en ce que par ex. l'équation (28.) semble exprimer un beaucoup plus grand nombre de valeurs à droite qu'à gaucbe. Car si par ex. la quantité {u^u^u^ ... .)^ a X valeurs différentes, diacun des facteurs u\y u\^ u\ .... h droite en aura autant, et si le nombre des fiioteurs est m, il paraît qu'il j aura K^ valeurs à droite et seulement A à gauche, puisqu'on multipliant les facteurs à droite, leurs valeurs se combinent. Egalement l'équation (20.) semUe exprimer ïf videurs à droite et seidement A à gauche.

Considérons en premier lieu l'équation (29.) sous la forme (20.) savoir

ou \u}^ signifie une valeur quelconque déterminée de u^. Soit v^ une de ces valeurs, l'équation (30.), appliquée à cette valeur, donne les h valeurs suivantes de u^:

Mais il n'existe que les X valeurs v^^ v^^ v^j .... v^ àelà quantité u^; donc une valeur qudconque de cette quantité, autre que cdle t;, par ex. t;, ne peut être que parmi les valeurs (31.). Soit !;.«"*= t'a, l'équation (30.) appliquée A cette autre valent de u!" donnera

MUs tés produits «"".l, «"^.ûi, $r.a% .... a^.ct^, comme il est aisé de voir> ne donnent d'autres puissances de a que celles qui déjÀ sont comprises entre les puissanoes a**, a\ cl^ .... ol\ puisque a^=s 1. Doncl'exp r essi on (32.) donne précisément les mêmes valeurs de £»^que cdle (31.). Elles se sooeédent seulement dans un autre ordre* Il en est de même

14 )• 10« et a. fornu 33^ i. D/JinUion et

des résultats que donnent les autres valenn v^^ v^ .... Vi de u^ en y appliquant Tëquation (30.)» Donc en multipliant »^ par 1^ dans (29.)9 le nombre des résultats différents n'est nullement X* mais seulement X, de sorte que rëquation (20.) n'exprime pas plus de valeurs â droite qu'à gauche.

n en est de même de l'équation (28.)« Car nous venons de voir qu'à Taide de la multiplication par 1^ les X valeurs de u\^ u\y u\j . . . . peuvent être toujours réduites à une seule^ de swte que leur in^alité peut être toujours exprimée par celle des puissances de l\ Donc les résultats de la combinaison des différentes valeurs de ii^ , u\ .... que pro« dint la multiplication des facteurs, se réduisent toujours h ceux qu'offrent les puissances différentes de l^=:a« Mais ces résultats ne prés^itent que X valeurs différentes, puisque les puissances %% ol\ a% . . . . ah^ reparciBr sent toujours, quelles que soient les valeurs entières qu'on donne ii n. Donc le nombre des valeurs à droite dans l'équation (28.) n'est miU^Daent X% mais seulement X, et égal à celui des valeurs à gauche.

Puisque, en vertu du paragraphe précédent, les diffi&rentes valeurs

d'une puissance u^ peuvent être toujours exprimées par une seule valeur

déterminée de cette quantité, en la multipliant par les différentes valeurs

de 1*^, et que le choix de cette valeur détwminée est arbitraire, on pourra

partir par préférence des valeurs réelles de u\ s'il j en a. Donc en

écrivant