III. Formules générales de développement

le.

n y a des cas où les valeurs numériques d'une fonction, celles de ses élémens étant données, peuvent être calculées à l'aide des quatre premières opérations suivant les expressions des propriétés de la fonction, et il 7 a en d'autres, plus fréquents, où cela n'est pas possible. Les fonctions qu'on appelle entières et fractionnaires sont dans le premier cas. Les puissances et les facultés le sont également si leurs exposans sont des nombres entiers; car dans ce cas elles ne sont que des produits de facteurs égaux ou équidi£Férents, qui peuvent être calculés par la multiplication et l'addition seulement. Les puissances à exposans fractionnaires sont encore dans le premier cas si leur racines sont rationnelles. La. valeur numérique de toute autre puissance ou feculté ne peut être calculée immédiatement par les expressions en forme finie de leurs propriétés, ni par cdles qu'on en tire par la transformaticm*

Mais tout calcul numérique se réduit enfin à l'addition, soustraction, multiplication et division de nombres entiers, et il n'y a pas au fond d'autre opération pour les nombres. Donc si les valeurs numériques des fonctions ne peuvent pas être calculées immédiatement suivant les expressions de leurs propriétés, il n'y a d'autre moyeu que de transformer ces expressions en séries de termes composés seulement de fonctions rationnelles entières ou fractionnaires, propres à être calcula par les quatre piemières opérations. Ces séries seront toufours nécessidrement infinies.

de développement* §• 17. - 2S

car 81 elles ne l'étoient pu, les fonotioiis qu'eDes r^résentent seroien^ oomme dans le premier oas, rationnelles et calculables directement* Ma» puisqu'on ne peut pas calculer un nombre infini de termes, le calcul numérique de fonctions irrationnelles ne peut s'exécuter qu'approximativement, et il faut qua la série qui repr^ente la fonction soit convergente, c'est-à-dire, que la somme d'un nombre quelconque de ses premiers termes, diffère d'autant moins de la somme de la série totale, que le nombre des termes qu'on calcule est plus grand, que cette différence, ou bien le reste de la série, diminue au delà de toute quantité aussi petite qu'on voudra et qu'il soit zéro pour un nombre infinj de termes* I^a série sera d'autant plus utile que sa convergence sera plus rapide.

Le moyen généralement applicable au développement des fonctions en séries, est le même qui fait naître le calcul di£Pérentiel et intégral et le calcul des diflPârences* C'est de faire varier par la voie de l'addition ou soustraction les valeurs des élémens des fonctions et de calculer les variations qu'éprouvent par là les valeurs des fonctions elles mêmes. Les développemens propres pour cda s'exécutent suivant une formule générale, applicable u une fonction quelconque et semblable ft la série de Taylor qui en est un cas particulier. On pourroit l'appeler série générale de Tajlor* Elle est connue depuis longtems quant a sa forme qui est odle de la série de Newton. Mais la méthode ordinaire de la démontr» ne semble pas être rigoureuse; aussi négl]jge»,t-.on ordinairement l'expression finie du reste de la série et la recherche de sa converjgenoe* Il s'agit donc de compléter cela et de donner une démonstration rigoureuse de cette foi^ule. Son développement peut être exécuté par la voie des tsans^ formations purement identiques, qui par leur natjure sont exemptes de toute incertitude. L'idée principale de ces transformations se trouve dann les mémoires de Mr. Servois des années 1.805, 1809 et 18H Wr les prindpes du calcul di£Pérentiel. Nous partirons de cette idée en modifiant son application, surtout dans le cas des différentielles, pour lequel il y a des remarques essentieOes à faire et en complétait le développement de la série par l'expression du reste et par la recjierche de sa convergiencei

Soit Fx une foneti<m quelconque de x et A: une variation quéicon* que de l'élément âp, on pourra écrire identiquementc

20 §• 17. /onit.68. — 75. III. FarmdM gMrale»