F(affÀ) = Fa: + -AFa: + fc^A«Fa:4-^^^=^^fc^A»F;r

A(ifc— <t)(A— 2«) .. .. (j^— n<t) .„fF(^e±Jç)—Fs\

Les coëfiBoiens de AFx, AWx ete, dans les termes de cette «ipreasion

— • • ^ • JSi pour abœgçr ou les de-

signe par (— )^ ^— ) (— ^ ,,, ., ©n peut ausn ëorire

28 {• 17. form. 79, —Si. Ul. Formules géiidrid*s

TeDe est la formule générale de développement qu'on peut appeler fformul<e générale de Tajlon EII9 est, comme on voit, semblable à la série de différences de Newton et applicable h une fonction quelcon^ que Fx pour la développer en série* Elle donne en même tems une ex* pressicm finie du reste de la série. 8i Ton désigne par R^ ce reste, savoir celui qui suit les n premiers termes de la série après le terme Fjp, on a

s« Hfi—») (k—2ei) ,,,, (h— net) 2.3 .... il

rF{x+k)^Fx\

La série, comme nous l'avons vu, a été trouvée par le seul moyen de tran9formations identiques. Son développement est donc établi de la manière la plus rigoureuse* La série est semblable à celle de BIr, Ser* vois, mais elle en diffère en quelque sorte, surtout par l'expression du reste, qui s'offire en même tems«

Quant à l'application de la caractéristique A à l'expression du reste, il y a à remarquer que toutes les fois qu'on écrit x-(-« au lieu de x il faut, en vertu de la règle adoptée pour le développemenA, mettre en même tems k — « au lieu de ky de sorte que x+Ar conserve la même valeur* On aura suivant cette règle par ex.

' ^ F{x^lc)—Fx F{x^iç)—F{x+a) F(x+fc)— Fa?

fc— a

[^ k h^Za k^a '^ k '

Si Ton vouloit développer l'expression du reste, on troovermt que tous lestermes de la série se détruisent, et eela doit arriver effectivement Il cause de l'identité de l'expression. Par ex. si l'on s'arrête au second terme de la série en écrivant

i<» âiveloppemmt. $.16. 20

on a

F^x+k) = Fx I *^^'>+«)-*^^ I *(*-«)g(jg+2«)--2ifc(*-«)fftH-«H-*(t-«)J'«

+ 2«* l fc— 2« '^ t-a ' k J'

et oda donne

cm bien OssO^ comme fl fisnit.

Bfais 3 n'y a nullement à cramdre que l'expression (TS.)) à oause de son identité^ soit moins un véritable développement^ qu'une transforma* tion vague dont tous les termes se détruisent mutuellement. Si les ter« mes de la série (78.) vont en diminuant , il y a déjà lieu de présumer qu'elle donnera approximativement la valeur de la quantité F(x 4*^) qu'elle exprime, et si l'on peut démontrer que le reste Rn est zéro pour n=soo^ la série sera oonvergente et donnera eflPectivement la véritable valeur de F(jr-f-^)* Ce seroit une erreur de soupçonner qu'une transformation iden« tique ne puisse fournir un développement réel. Au contraire 9 tout développement exact ne peut être qn'iuie transformation identique. Le déve« loppemeat d'une fonction en série convergente n'est jamais qu'une transformation identique de son expression en une autre composée de termes rationneb et déeroUnsants jusqu'à zéro et dont le reste, qui suit un nombre infim de termes, est zéro.

Lesquotiens :^^, ^^, ^^, .... des termes de la série gêné-

raie deTayIor(78.), si l'on y fait «asO, n'étant autre chose que les coëffioiens différentiels de la sëtie particulière deTajlor, a semble à la prcanîére vue, que cette demi^ série puisse être tirée inunediatement de la série générale, si l'on suppose que les faotorielies k(k — «), fcÇk—tt^k—ia) ....

33 ^. i8. form. 62. et 63. lU. Formules, générales

pour a= se réduisent aux puissances k% fâ^ k^ ...., car dans ce cas la

sérid (78.)> en X ëcrirant BFxy d*Fx, .... au lieu de , — r- • • • •

donne