F(x+k) ^ Fx-\-kdFx-{-^d*Fx-\-—^d*Fx

et c'est la série particulière de Taylor.

Cette réduction de la série générale (78.) à la série particulière se justifie complètement dans le cas où la série n'a qu'un nombre fini de termes^ car dans ce cas les factorielles k (^— a), h {k—x) (A— 2a), . • . . /r (/r— a) (âc— 2a) , , • • (k—ncC) se réduisent pour a =:0, sans le moindre doute, aux puissances lâylây.... k^\ Mais si la série se prolonge a l'infini, c'est- a-dire que n puisse être oc, on n'est pas sûr, que la fectorielle k(k — a)(k — 2 a) •,,.(/: — ncC) soit égale îi la puissance /:'*+', puisque la valeur du facteur k — na pourroit être quelque autre quantité que Ar, même ou zéro ou infini pour a = et ;i = oc. On ne peut donc tirer immédiatement la série particulière de Tajlor de la série générale dans tous les cas. Son développement a besoin plutôt encore de quelques autres réflexions, et d'autant plus que la série n'a effectivement lieu que sous certaines conditions.

Parmi les modes nombreux de développement qui existent de la série particulière de Taylor, celui que donne Lagrange dans la théorie des fonctions se distingue par sa clarté et sa généralité. Mais ce développement suppose bypothétiquement la forme de la série et sa convergence. Mr. Servois, dans les mémoires cités plus baut, donne un développement de la série sans faire ces hypothèses; mais dans son développement, les coëiBciens différentiels se présentent sous la forme de séries dont la convergence peut offrir des difficultés. Voici comment on peut démontrer la série particulière de Taylor uniquement a Taide des transformations identiques, et de sorte qu'en même tems les conditions de Texistence du développement se font voir.