d'Fx + ^"^^ a- /^(^4-*)-yx

••••+2. 3. ...«*' ^*+ot.t:s^ V ^ )'

C'est, comme on v<^, la saxe particulière de Taylor. L'expression du reste de la sâne, qui suit ses n premiers termes a^^és celui Fx et que nous avons déirîgné plus haut par K» , est ici

OÙ la notation d" veut ëSarey que dans le quotient ^ ^jf on doit

mettre jt+a au lieu de x et k — « au lieu de k^ puis retrandier du ré*

de déveiopptmenU

{. 18. y«)rm. 98. -«95.

saltet le qaùdent primitif^ fiedire « = dans la diffërenee et répéter n fois cette opëratioii.

m. Le développement que nous venons de faire de la série par«* ticuliére deTaylor s'exéoute^ comme on voi^ sealemeut à l'aide de transformations identiques. D est donc exempt de toute incertitude^ aussi bien que celui ci-dessus de la série générale de Taylor.

Mais en même tems il fait voir les conditions qui doivent être remplies si Ton veut que la série subsiste. Elles s'expriment par les équa« tiens suivantes:

A/(jp+«) A/a?

Ayx

A»/^ar+a)

A'fx

pour »s=0.

Puisque / (JP + «) —/x = A/jr, Af(x + *) — Ajx =r A«/x,

A'/Car + a)— A"/rs=Aya? etc., elles peuvent être aussi exprima par

{ Afx = '

A'fx

=: / poup a

A-fa

ou bien, ^ étant =Ô/a:, ^«ô«/ar, ^Ji^S'f^ etc. pour a = 0, par

/ adfx = 0,

§• 18. /orni^ge.— 99.

///• Formul9S génA'ales

lY. Les ëquations (04. et 05.) donnent les conditions de Texistence de

la série (9L) et elles les expriment par la quantité /a? s=s-^-^^t^^ • Mais on

peut les réduire aussi à d'autres qui se rapportent à la fonction Fx elle même* Les équations (76.) 9 en partant de la seconde, donnent

afœ = AFx +{k—a)Afx, X - A* Fa: , Ar — 2a A*/a?

A'/x A^Px Ar— 3a A'/jc a ~ 3a* "T 3" * a* '

AVx A^Fjc , Jk— 4a AYa:

A"-*/a? A'* Far ■ fc— na A"/x

Supposons que les équations (94.) ont lieu. Dans ce cas la sârte (01.) aura lieu également, parceque les équations (94.) exprinient les conditions de son existence. Substituant les équations (94.) dans celles (96.)

et supposant encore

afœ = pour a = 0,

on awa

/ AFx = ^

A^Fx

a A^Fx

A«Far

pour a = 0.

ou bien, ^ étant =0/*, ^^B^jx, ^^^B^fx .

«s=0) en réunissant (97. et 98.)

adFx =s eid*Fx Œs »d'Fx =

pour

x&'Fx =5

pour « 8s 0.

de divéloppemeni. }. 18. ^

Si 168 ^uii^ns (94.) n'avcûent pu lieu^ celles (97. et 98.X et par suite (99.) n'auMMent pas Heu noa plus, coniiiie on le voit par les équations (96. )• Donc les équations (09.) expriment les conditions de Texistence de la série (91.) et les équations de condition (95 •) sont mam«tenant réduites A d'autres où entre la fonction Fx. Voyous ce qu'elles donnent pour les coefficiens ôFx^ d^Fx etc.

y* La première des équations (99.) a toujours lieu, même àfx

étoit = oo; car puisque la quantité « n'entre pas dans fx s= > '^ J ,

on peut toujours la suf^oser telle, que »fx soit zéro, par ex. en suppo^

saut «= .^ va , on a afx^=:j- et «/r=sO, si /a? = oc. Afais les au*

\J30) JX

très équations (99.) demandent que les coefficiens différentiels ^Fx^ d^Fx .... ne soient pas infiniment grands; car su[^08ons dFxs=ioo pour a=iO,

oette quantité étant égale à on auroit = co pour « = 0, doue

AFx pourroit avoir une valeur finie et ne seroit pas nécessairement aséro, résultat contraire h la première des conditions (98.). Supposons S^Fxtszoo

pour a = 0, cette quantité étant égale à — r^ , on auroit — r— =^ «x pour «ssO, donc le serott également et non pas nécessairement zéro^

résultat contraire à la secondiB équation (98.) etc«

Les conditions (95.) ou bien (99.) se réduisent donc A ce que dFxp S*Fx etc. ne doivent pas être op. Donc la série particulière de Tajlor (91.) ne subsiste que dans les cas où les coefficiens différen* tiels dFx^ B^Fxj .... d'^Fx sont des quantités Hnies. Elle n'auroit pas lieu si quelques-uns de ces coëfiiciens ou un seul coefficient étoient infinis.

TL n y a encore A remarquer que la série partioidière de Tajler, si d'ailleurs les coeffidâis di£Pérentiels ôFx^ d^Fx.... ne sont pas des quantités infinies, peut subsister, même dans les cas on A: est infiniment grand. Car supposons la condition remplie ^e BFx^ B^Fx .... sont des quantités finies, les équations (99.) et par suite celles (97« et 98^) auront lieu» Mab si «FjpssO et AFx^sO laprraûère des équations (90.) donne OssO-}-(Ar — a)Afxy c'est- A- dire A/jr = pour une valeur quelconque

d^ Ar, et A pUis forte raison A/îr = si A = pp« Puis, A/jp et — ~

30 $• 10- III. Pormmiêi gendraies

étant zéro y la seconde des équations (96.) donne = 0+ — ^ — . '^ , donc — — est zéro pour une valeur quelconque de Ar et à plus forte raison -• = si A: = oo et ainsi de suite^ de sorte que toutes les équations de condition (04.) seront satisfaites également* Donc la série (01.) peut subsister^ même dans le cas ou A: est oo.

On voit que les conditions que nous venons de trouver pour l'existence et la validité de la série particulière de Ta yl or doivent nécessairement être ccmnues pour les a^lications de cette série* D'ailleurs la série n'est pas encore convergente si elle satisfait aux conditions (Y.). Ces conditions ne se rapportent qu'à son existence.

Ayant trouvé et démontré les séries que présente le développement d'une fonction quelconque en variant ses élémens^ il s'agit maintenant de juger la convergence de ces séries dans les cas définis^ c'est-à-dire de juger la valeur du reste de la néAe. Si cette valeur ne diminue pas en augmentant le nombre des termes et ne converge pas vers zéro^ la série est sans but.

Si la valeur du reste de la série pouvoit être trouvée exactentent^ on pourroit juger immédiatement sa convergence en faisant n^oo dans l'expression du reste. Si cda donnoit zéro pour la valeur du reste, la série swoit convwgente, et divergente dans le cas contraire. Mais il est évidenoonent incessible de trouver Texpression exacte et finie du reste, toutes les fois que la série est infinie: car si cela étoit possible, on auroit une expression finie de la fonction proposée et sa valeur cesseroit d'être exprimée approximativement par la série conmie le. demande Thypothèse, mais par un nombre fini de termes.

n faudra donc plutôt se contenter d'évaluw approximativement la valeur du reste, c'est-à-dire de trouver des limites dans lesquelles cette valeur doit être comprise.

On oonnoit les expressions des limites de la valeur du reste de la série particulière dç Taylor. Mr. Lagrange les a données par la voie des intégrales définies. Mr. Ampère a simplifié et perfectionné la recherche de ces Umites dans un mémoire inséré dans le 13^* cahiec du journal de l'école polytechnique, et a même étendu ses recherches aux

tf« développement. §. 20. form. 100. — 101 3|r

fenetions de plusieiin Tariables dans le 11- cahieF du IT^ toiQe des an» sales des mathématiques de Mr. Gergonne. Il ne nous reste. donc vA qu'entre prendre la redberohe des limites du reste de la série générale de Taylor/ Ces limites peuvent être trouvées de la manière suivante*

1. Soit <P(pryk) une fonction quelconque des deux quantitéa x et ky variables toutes les deux, mais soumises à la condition, que si par ex. a: varie de a, k varie en même tems de — «. Supposons aussi que <P{x^k) n'ait pas de valeurs imaginaires ni d'infinies, mais que toutes les valeurs de oette f osotion, pour les valeurs différentes de ses élémens (c et k^ depuis jt jus^'a ar + /r et depuis k jusqu'à 0, soient rédles et finies, de sorte que <P{Xyk\ dans l'étendue indiquée des élémens^ est une fonction continue.

Cela posé, faisons varier continuellement ar àe a, et en même tems, siuvant la condition ci-dessus, Ar de — «, on aura en faisant usage du signe A,

/y(jp+a, k — a) —9?(j(?, A:) = Aq>x,

l9î(a?+2a, A;— 2a)— y(a?+a, A;— a) =s Aç)(a?-f-a), 100. /y(a7+3a,A:— 3a) — y(a?+2a,*— 2a) = Ay(a7+2a)^

(9(a7+ma,A;— ma)— y(ap+(in--l)a,A;(m— l)a) = Aç>(x+(jn— l;a).

La somme de ces équations est 101. 9)(a?+ma,A; — ma)— 9>(a?,A:) ss A9)jr? + Aç'(a?+a) + Ay(x-|-2a) ....

La quantité » étant arbitraire, on peut supposer ma^^^k. Cela donne, en divisant par /r,

jjg^ (pjx^lc, 0)— y(a?, k) Aya:+ Ay(jc+a)-t- Aq>{x'^2a\. . . . + AyCap+Çm— l)a) ^ k 7^a

Supposons

103. A9>a?+Av(ap+«) + ^9P(^2a)..;.4-A<îp(a:+Cm— l)a) = mA9(x+|wa^

l'expression (102.) se réduira à