KO)—<P(^fk) ^ A<P(x+fL(t) k a

Bfointenant l'expression (103.) fidt vonr que les quantités AÇsffy A9(a:+^)»

38 f. 21. ///. Formules gettérales

A^(x+3«V ••••9 M>H qu'elles aient toutes le mâme ngne, soit que leun signes soient diflPérents^ ne peurent être, toutes en même tems, ni plus grandes ni plus petites que la quantité A^(dr + ;ca)^ car si cela étcM<^ la somme des m quantité A^x^ A<p(jp+ ^)> •••• seroit ou plus grande ou plus petite que m fois la quantité A^(x + M^) ^ ^^^ P^^ ëgale a ce multiple de A(P(jr -f- fta), comme le veut l'équation (103.). Donc^ toutes les quantitéi A(pjr9 A<p(jr -)-«), •••• ne pouvant êtra ^ales entre elles, il j en aura nécessairement parmi elles quelques unes de plus grandes et d autres plus petites que A(p(x + ii»). D(nqc la valeur de A<p{x + V^^) sera nécessttrement comprise entre celle de la pins grande et cdle de la plus pedte des quantités A ^jr, A<p(jp+«), A<p(ar4-2a), ..•• c'est-à-dire

entre la plus grande et la plus petite valeur de Atpx^ Donc aussi . ^'^ *^ 1

sera comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de — ^9 et,

-^y<^+^"^ étant égal A y(^+*.0^-y(^>*) , ^ valeur de cette dernière

quantité sera comprise entre la plus grande et la plus petite valeur que

— 2i? ou bien ^^' — puisse avoir pour les valeun différentes de j? et Ar,

depuis X jusqu^ù ar -f- Ar et d^uis k jusqu'A xéro*

n. La quantité « étant arbitraire, on peut la supposer zéro. Dans

ce cas la quantité —~ m réduit au coefficient différentiel d(px« Donc le

théorème que nous venons de trouver fait voir, dans ce cas particulier,-

que la valeur de ^ * ^— yv^i ^^ toujou» plus grande que la plus

petite, et plus petite que la plus grande valeur du coefficient différentiel d(Px, <Px étant une fonction continue de x depuis x jusqu^a x-f/r et dq^uis k jusqu'à 0« C'est le théorème deMr, Ampère, qu'il a démontré à l'endroit cité.

Nous allons maintenant appliquer le théorème général du paragraphe précédent à la série générale de Tajlor (78.).

L Mettons dans cette série A -{-a et k — a au Keu de ar et A et déduisons du résultat la série primitive, nous aurons, en désignant le reste de la série suivant (80«) par il,»:

dit div^pement. }, 21. form. 105. JQ

as: F<x+a)-^Px

+ '*-f:.-'°' A-i>,l+.)-*-^>AF»

^ (t-.Ut-2.)...^(t-..)' ^.^^ ,^ Kt-.)'....»-(.-i ) . ^.p.

+ Alln

OU bien

= AFx

+ i:::^ A F(«+a) — .^^lÎAFa?— A Fjt T^ a a

(»;-«)(»:— 2tt)....(t— ni») ^.p^^ ^ „^ (fc-na)(t— «)(<:-2a)..4t--<it-l)a) ^, jj,^

(t-»Xt— 2<.)....(lt-(»-l)a) . , + AB.. 2.3....(.-.)^ ^ ''

c'est-ù-dîre = AFa?

+ ^Zlf!A«Fa?-AFar

. (t— g) (fc^2«). ♦♦.(*— n«) ^^ (*—«)(*—g«)'"«(*— («—<)«) A» F^