R^ = q>{x,k) = F(x + k) — Fx — '^AFx— ^^^~^^ A^Px

k(k—a)(k—2a)....(k — Cn^i)a) y,^„ 2.o....na'*

et si dans cette équation on ùSt x^ssx-^k et /rssO^ elle donne

113. Rn = 9(a?+lt,0) = F(ar+lfc) — F(a?4-*) =: 0, les râleurs de toutes les quantités AFx^ Ù^Fxy • • • • Ù^Fx étant sup- (K>sées finies: donc en composant la quantité " ^ ' ' )~Vy^* ) p^i^^ ]g valeur actuelle JR» de (p(xyk) on voit que cette quantité est = — ^^^*

IV. Mais suivant le théorème ($• 20. L) la valeur de la quantité ^ ' l~^ ' est toujours comprise entre la plus grande et la plus

petite valeur de ^^tS^; donc la quantité v(-^^^.0)-v(a:^k) ^^^

eti Te

— ^jr dans le cas -actuel^ le théorème nous apprend que la valeur de

R jp est comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de

— 5^if"^ = — ~, ou bien| — entre la plus grande et la plus petite va*

leur de ——.

V. Cette dernière quantité est égale a ^î^ T^^^ (109.), donc la valeur de — est comprise entre la plus grande et la plus petite valeur de

'-T~ "Hi^-i » OU, ce qui est la même chose^ B.^ Test entre la plus grande

et la plus petite valeur de (a + 1)^1^-1; ^im*x ^tant le pjremiœ t^rme du reste £. •

Donc nous venons de trouver le théorème suivant* Si dans la série générale de Tajlor (78.) les valeurs de toutes les quantités ^(a? + Af), Fx^ AFxy l^Fx^.... ÙTFx {n étant supposé

42 $• 21. ///. For/Miles générales

d'^hord mi nombre fini) sont relies et finies pour toutes les valeurs des élémens x et k depuis ar jusqu'à x-^ k et depuis k jusqu'à zéro» la valeur du reste JR„ de la sërie^ qui suit le n"^ terme après le pre* mi» 9 est oomprise entre la plus grande et la plus petite valeur que son premier terme T^^ peut avoir pour les différentes valeurs des âémens x et Ar.

TI. Ce thëoréme suppose que le nombre des termes de la série qui précédait son reste est fini. Mais on peut fiiire voir que, sous les oonditions établies, le théorème a égalem^it lieu pour un nombre infini des t»me8.

Si les termes de la série vont en augmentant, elle est évidemment divergente et il n'est plus question du reste. Si les termes sont égaux entre eux, et de même signe, le théorème donne des limites infinies pour la valeur du reste, comme il le fisiut. Si les termes de la série sont de grandeur égale et de signes différents, la série n'exprime aucune quantité déterminée» H ne reste donc que le cas ou la valeur algébrique des termes de la série va en diminuant par termes ou par groupes de termes.

Si dans ce cas le théorème donne des limites finies pour la valeur du reste Rn qui suit un nombre fini de termes, cela fiedt voir que la va* leur de la série dans toute son étendue est finie, car £„ exprime la somme de tous les termes de la série â l'infini, qui suivent le rï^ après le premier. Donc aussi une partie quelconque de la série, à partir de son premier terme et allant même jusqu'à l'infini, aura une valeur finie, les termes ayant été supposés décroissants, ou par termes ou par groupes, et la partie ne pouvant être plus grande que le tout. La somme des termes qui précèdent le reste de la série aura donc toujours une valeur finie, même si l'on prend un nombre infini de termes. Mais la condition (n.) de l'exactitude du théorème veut que la somme des termes qui précédait le reste soit finie; donc le diéorème a également lieu pour la valeur du reste dans l'infini.

TH. Si la phis grande et la plus petite valeur du premier terme du reste dans l'infini, prises (n -f-1) fois, sont zéro toutes les deux, le reste de la série, qui suivant le théorème (Y.) est compris entre ces deux limites, le sera également. Donc la série sera convergente dans ce cas.

Tm. Puisque la série générale de Taylor (78.) se réduit à la série particulière du même nom (91.) quand on fait â( = sous condition

ât développanent. §. 22. fbrm. 114 et 115. 43

qu'auoim ooefifident ^éteaûel ni le reste ne soient infinis (i.l8. Y.) et qae cette condition s'accorde avec celle de Texactitude du tii^rème des limî-^ tes du reste de la série générale ^ qu'aucun de ses termes ne doive être infiniment grand: le théorème aura lieu égalem^it pour la série particulière de Taylor et

la valeur du reste de cette série qui suit un nombre quelconque n de ses termes sera toujours comprise entre la plus grande et la plus petite valeur du premier terme du reste, pris (^+1) ^ok, sous condition qu'aucun coëfiGcient différentiel ne soit infini ni imaginaire et que la série aille en décroissant. Si ces bmites de la valeur du reste sont zéro dans l'infini, la série sera convergente»

Quant à la série générale de Taylor, il 7 a un cas particulier, ou le théorème des limites de la valeur du reste trouvé ci-dessus, ou plutôt la série éHe même, n'ont pas Geu si l'on prend à l'infini le reste et la série. Cest celui où toutes les différences AFx, A^Fjp, . . « « sont égales entre elles et à la fonction Fx, et altemativraient positives et négatives. Nous verrons plus bas un exemple de ce cas en traitant des facultés analytiques.

Dans le cas d'exception la série (78.) donne

, . X T, /-- ^ i Hk—a) k{k — a){k—2a) \ .

114 F(ar+fc)==:Far(l-- + -^^ ^^, ^....j + fl».

Mais on a, comme on le verra plus bas dans le développement des puissances,

,« 1 f^ y Hk-a) k(k-a)(k~!ia) ^ /i ix|- 115. 1— — + --2Ï^i 273ï^ ....op-^l l) .

et (t — 1)" est zéro téÊt^ les fois que — >0; donc l'iéquaticm (114) se

réduit à ... «