A *f*ir;|â=Miii

lY. Donc, en vertu de ce qui a été démontré ($.20.), la valeur de la quantité ^'^^"^ ' )—Vi\^f ) ^^^^ toujours comprise entre la plus

petite et la plus grande valeur de 42i^, et la quantité S^^f^+îiO)^^ entre la plus petite et la plus grande valeur de — ^*^^' \

Mais nous avons vu (§.21. III.) que Rny ea y mettant âr-f-A au Veu de or et au lieu de k^ se réduit à zéro. Il en est de même des

ces quantités ajant k pour fiu^eur. Dooo les quantités <PiQvy k) et (t>^(xy k)y (132. 133), en y mettant x-^k au lien de ^ et au lieu de k, se réduisent à zéro, et on a ^i(a?+^0)sO et 9^ix+k^0) = 0. Par là les

4g §• 23. ///. Formules genér<dê9

— £ii^ et — y»^f'*l Bonc en vertu du th^rème ($.20.), que nous venons de diter, la quantité — ^'^^' - sera comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de ^^'^^'^^ et la quantîtë —^iJÙ. entre la plus

petite et la plus grande valeur de ^'^^ — ou bien — ^ff^^^ ' géra oom«* prise entre la plus petite et la plus grande valeur de A(p^(xyk) et — a(p^(œ,k) ^^^^ 1^ pi^ petite et la [4us grande valeur de A(p^(x,k).

T. Mais les quantitâiA^,(jr9^} et A(f>^(xjk)y comme le font voir (132. et 133.)9 ne sont autre chose que celles (127. et 128.)« Ces dernières quantités, comme le font voir les expressions (127. et 128.), ont la propriété de n'avoir, la première que des valeurs négatives, et la seconde que des valeurs positives. Donc aussi la plus petite et la plus grande valeur de A<p^(xyk) seront négatives en même tems et Ja plus petite et la plus grande valeur de A<p^{xyk) positives toutes les deux« En appliquant cette remarque au résultat (lY.) on en tire la conclusion que la

quantité — ^9A^' géra toujours négative, c'est-à-dire <;0 et la quttitité — ^''^'^'^^^^ toujours positive, c'est-à-dire >0« Donc les quantitéi

<P^(xyk) et <p^(xyk) auront nécessairement des signes diflPérents, c'està-dire, si l'une est ^•O, l'autre sera <C0.

Mais ces quantités, conmie le font voir les expressions (132. 133.), ne sont autre chose que les différences entre le reste R^ et la, plus petite et la plus grande valeur de son premier terme. Donc la valeur du reste est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de son premier terme.

YI. On a supposé jusqu'ici que le nombre des termes qui précèdent le reste est fini (IIL), mais en vertu des réflexions (§.21. VI.) le résultat a lieu encore si même le nombre des termes est infini; donc on a le théorème suivant.

Si dans la série générale de Taylor (78.) les quantités F(x'^k) et Fx et tous les termes de la série qui suivent ne sont ni imaginaires ni infiifîs et vont en diminuant, la valeur du reste R^ qui suit les n

de ééveloppemenU §. 23. ' 49

f premieni termes après Fx est oon^rise entre les Taleurs de san pre«

mier terme 2.3:::.{n^i) '^72?+^- correspondantes à la

plus grande et à la plus petite valeur que peut avoir la quantité — ^qpï — pour les diflPérentes valeurs de x depuis x fusqu^à x-^k.

On voit que si dans l'infini oes valeurs du premier terme du reste Bn aont zéro toutes les deux^ le reste sera zéro également. Donc dans ce cas la série sera convergente^» Si les deux valeurs du premier terme du reste dans l'infini ne sont- pas nulles mais finies ou infinies et de même signe^ la série sera divergente.

yn. Puisque la démonstration de notre théorème a lieu pour une valeur quelconque de x^ et même pour « = 0^ qui est le cas de la série particulière deTajlor sous la condition ($• 18. YL)^ le théorème s'ap« pliquera également à cette série et il s'énoncera dans ce cas comme suit:

Si dans la série particulière de Taylor (91.) les quantités F(x+k) et Fx et tous les termes de la série qui suivent ne sont ni imagi-> naires ni infinis et vont en diminuaut^ la valeur du reste JR» qui suit les n prenners termes après Fx est comprise entre les valeurs de

son premier terme ^^ T'XTÎ^''**^^ ^ correspondent a la plus

grande et la plus petite valeur que peut avoir le coefficient diflférentiel ô'H-ij^^ pour les différstttes valeurs de x depuis x jusqu'à x-^-k.

Si dans l'infini ces valeurs du premier terme du reste Rn sont zéro toutes les deux^ le reste sera zéro égal^nent et la série sera convergepte* Si les deux valeurs du premier terme du reste dans rinfini ne sont pas zéro mais finies ou infinies et de même signe ^ la série sera divergente.

Le théorèpie général que pous v^noi^ de démontrer donne^ comme on voit 9 dans le pjss de la série particulière de Tajior le théorème de Lagrange démontré plus simplement par ftfr. Ampère A l'endroit cité.

5Q ^24. /om. ia4. -i- 13& If% jtppUeaHon des formuUê gJtOMie^