XIX. Dans le cas Ar = on a toujours (l + jr)Ps=l

XX. Soit en second lieu k = — 1 ou < — 1. Supposons k = — 1 — t, t étant positif et au moins zéro. Substituant x^szl-\'Z et Ac = *— 1 — b dans (155.) on a

Ici le facteur — ~p- — ^ m étant assez considérable, sera <ri quds que soient f et «^ puisque mt; pourra toujours surpasser t« Les iaeteurs qui suivent ^ T^^ seront encore plus petits et iront toujours en diminuant. Biais d'après la remarque (Xm.) un produit d'un nombre infini de facteurs 9 chacun moindre que l'unité^ est déjà zéro. Donc le produit (163.) ou les facteurs sont <[ 1 et vont en diminuant le sera k plus forte raison^ si /2=soo. Donc 7]^, sera également zéro dans le cas actuel et la série (152.) sera convergente.

Elle sera donc toujours convergente dans le quatrième o«k

XXI. En nous résumant ^ nous pourrons énoncer comme suit ce que nous venons de trouver sur la convergence de la série du binôme

Cette série^ x étant réel^ est c^onvergente pour une valeur finie et réelle quelconque de l'exposant k si jr> — let< + l* Sîjrsss — I elle est convergente si ^]>0j «t « ^= + Ij elle Test si A> — 1. Si itrsO^ on a (1 + ^)^ = 1 pow une valeur quiconque de^r. La série est divergente pour toute autre valeur réelle de jp et Ar.

de dtveioppemtnt aux puissances. $• 27. 50

XXII. La recherche de la convergence de la séîe du bîndme présentée dans le paragraphe présent est ceUe qui a été annoncée dans le petit mémoire cité au commencement de la note préliminaire du membre présent^ oar^ comme on l'a wu, nous avons opéré immédiatement sur l'expresMon générale du reste de la série. Cette recherche est celle qui étoit destinée à être exclusivement Tdbjet de ce mémoire et qui Ta occasionné.

On peut voir d'ailleurs par la recherche du paragraphe présent et par celle du mémoire cité^ combien la théorie ordinaire du binôme^ quoique objet très élémentaire et traité souvent ^ est incomplète. Même on trouve présenté le théorème du Imiôme sans la moindre notice sur la convergence de la série qui elle même n'est pas démontrée rigoureusement pour une valeur quelconque de l'exposant, et pourtant la série n'est bonne à rien dans les cas où elle n'est pas convergente.

Nous avons vu ($. 25.) que la série (144.) embrasse de l'expression générale d'une puissance développée en série (142.) tous les cas que présentent les diflférentes valeurs de la quantité arbitraire a, excepté le seul cas a = 0. Mais, comme il est aisé de voir^ on tire également la série (1440 ^^ ^^^ (142.) en supposant a si. Donc tous les cas de l'expression (142.) auxquels donnent lieu les différentes valeurs de a, peuvent être envisagés comme réduits à deux seulement, savoir au cas ft = 1 et au cas « s= 0. Le premier embrasse tou9 les cas correspondants aux différentes valeurs finies quelconques de a. Le second cas subsiste isolément. Nous avons £Bdt dans le paragraphe précédent la recherche de la convergence de la série générale (142,) dans le premier ca»^, où elle se réduit a la néAe (144.) et donne la formule du binôme. Il nous reste donc a foire cette redierche pour le cas a = 0. Dans ce cas la série générale (142.) nous donnera les quantités dites exponentielles et les logarithmes* Nous commencerons par le développement même d'une puissance en série, sous ccmdition que la quantité arbitraire a du développement général des fonctions doit être supposée zéro,

I. Comme la série particulière de Taylor (91,) est coosa* crée essentiellement au cas où dans la série générale de Taj lor (78.) la quantité a est zéro, nous partirons de cette série partiquliè r e. En effet,