Iog(l+jr) = x — îar»+|j?'— Jx*+fa^^...±-lJP

70 $• 90. jorm. 211. IV. j^pplication des formules générales

Cette aeriè^ comme il a ^ démontre (f • 27. lY.) est d'abord oonvargeote dans les cas ou jp est ^0 et ^1. Mais eUe Test également si jp^O et

^ — 1. Car si x est négatif^ la série (210,) se réduit û log(l — ar) = — (^ + i^* + 7^ + l^**»-» + ~^»***7 ^^ maintenant a? est regardé comme posittf# La vdeur absolue du reste £„ de cette série qui suit le terme — ^> *^^^"^ *"~^bl4 v*^^»^"^^ ^* évidemment

plus grande que zéro et plus petite que -■5T(l+J"^+^«»-0=="-xî«Tzr'«

Cette seconde limite de la valeur du reste R^ est également zéro pour 71 =s oo si X'^i. Donc jR,» est zéro pour /i = oo et la série est couver-gente également dans lecasjr^Oet>' — 1. Donc elle est convergente si X tombe entre — 1 et + !•

V Icffl/

Puisqu'on vertu de (203.) pour toute autre base Vy logu s= — ^ on a

logy

X — fjc*+ ix^ — Jap*« • • • ± — ^« • •• 211. log(l+:r) =

logi;

On sait que les séries peu convergentes (210.) et (21 1.) qui donnent le logarithme de 1 + ^ peuvent être rendues plus convergentes de dilTérentes manières; mais nous ne nous y arrêterons pas.

Dans ce qui précède la quantité z de l'expression u^ = « a été ex« primée par y et u de deux manières différentes^ savoir par les séries (145. et 207.). Ces deux séries di£R$rentes^ exprimant une seule et même quantité 9 viennent des deux valeurs a=:l et a = que peut avoir la quantité arbitraire a dans le développement général des fonctions (78.)* De plus la quantité / de l'expression u^si^z a été exprimée en ii et « par la série (211.) y étant le logarithme de z pour la base ». Dans la série (211.) 1 +^ et t; prennent la place de z et u. Donc, des trois problèmes (135.) qui se présentent dans le devdoppement des puusances, il ne reste que le troisième, savoir d'exprimer, u par y et z. Mais la solution de ce problème n'exige pas de nouveau développement. Deu^ ^=^z

de développement aux pm^aanees. §• 31. form. 212» 71

on tire ustP" (lO.), de sorte que u peut être exprime en ;s et y au moyen des séries (145. et 207.).

Il 7 a encore à remarquer que les expressions des puissances que nous venons de présenter n'en donnent qu'une seule valeur. Pour avoir les autres^ s'il 7 en a ^ il n'y a suivant (§• 9.) qu'à multiplier les ex* pressions par la puissance de l'unité qui a le même exposant*

Maintenant nous venons aux fonctions angulaires qui particulièrement se rapportent aux puissances h expo s ans imaginaires. Nous en donnwcms le développement ^1 fidsant voir en même tems qu'il peut être exécuté k l'aide du développement génâml seul sans avoir recours aux considérations géométriques ni à d'autres considérations étranà l'objet.