V. Application de la série générale de développement

aux fonctions angulaires.

n n'7 a d'autre condition de Texistence de la série particulière de Ta7lor (91.) que celle qu'aucun des coëfiSdens différentiels qui jr entrent ne doit être infini; la quantité k de laquelle varie la variable X peut être tout ce qu'on voudra^ réelle ou imaginaire^ ou même infinie (à voir §• 18»). Donc aussi les séries que donne la série particulière <le Ta7lor9 si on l'explique aux puissances^ par ex. les séries (145. 180. 189.) auront lieu pour une valeur quelconque de A:^ réelle ou imaginaire (à voir $. 27. TI.). Ce n'est pas l'existence des séries^ c'est le théorème général (§. 21.) de la convergence des séries tirées du développement général 9 qui exige que toutes les quantités qui entrait dans ces séries soient réelles^ si l'on en veut juger la convergence.

Donc par ex. la série (189.) a lieu pour une valeur quelconque de ky même imaginaire et infinie^ et si l'on fait /c=±â?/* — l=^±i^> /" — 1 étant supposé = 1^ on a généralement

ziz. e- —1 2+2.3.4 2.3....6 ' * ••-2.3....2/I

*'V^ 2.3'*^2.3.4.5~2X:::7---*-2.3....(2ii+l)--7

smx.

72 $• 32. /orm. 213. — 216. V. jipidication de la série générale

pour une Taleur quelconque de x. Mais le théorème de la conrergenoe ($• 21.) ne peut être applique à cette série, puisqu'il exige la réalité de toutes les quantités.

La série (212.) n'est pas d'ailleurs moins générale que si au lieu de la base e du système de logarithmes naturels on met une quantité quelconque Uy comme dans (207.) > ^^ ''"* ^^^^^ = ^*"" ri « = ^'", il n'y a qu'à écrire mx wl lieu de x pour avoir également l'expression de u-^ par la voie de la série (21 2«).

n s'agit maintenant de chercher les propriétés de l'expression (212.)« L Désignons la partie réelle de cette expression par cosjr et la partie imaginaire par iwax^ de sorte que

Nous invitons le lecteur à vouloir bien mettre id à coté les idées du cercle et des lignes géométriques qu'on a coutume d'attacher mix mots cos et sin. Nous aurions dioisi quelques autres signes pour les valeurs de séries (213. et 214.) si on avoit eu à craindre qu'on ne fit pas attention à l'invitation que nous venons de feîre« Il ne s'agit ici que des expressions purement analytiques, et si ces expressions donnent en même tems les valeurs de certaines quantité géométriques, c'est à la géométrie et non pas à l'analyse de feire voir cela. Nous sommes absolument indifférents à ce que signifient les séries (213. et 214.) en géométrie. Il seroit évidemment contraire à une bonne méthode de mêler la géométrie à l'analyse. La géométrie peut avoir besoin de l'analyse, mms elle ne peut jamais la précéder ni s'y mêler.

II. La somme de deux termes consécuti& de la série (213.) est et la somme de deux termes oonsécutifo de la sâie (214.)

^^ ±fx:r(2irp)«2'«+2)(2«+3)-*«).

de développement au» fonetùms angulaires. §. 32. 73

Puisque x a été suppose réel^ ar* et toujours positif^ c<Hiiine n. Donc le iaoteur (2n + i)(2n + 2)—:>^ de Texpression (215.) est positif si 2/2 + 1 = ou >ap, et le faoteur (2i2 + 2)(27i + 3)— -a?» de lexpressiou (216.) Test si 272 + 2= ou >>jr« Donc dans ces cas la somme de deux termes consëcutife dans les deux séries (213. et 214.) prend le signe de son premier terme. Mais les termes des sëries (213* et 214.) ont alter« nativement les mêmes signes et les exposans de x vont en croissant ; donc tous les couples de termes qui suivent ceuac (215. et 216.) ont les mêmes

signes. Donc aussi la somme de tous les termes dès celui yf^ dans (213.)

et des celui 5-5 — 7^rr7\ dans (214.), a? étant respectivement = ou <27i+l

et =:ou<<2/i + 2, ont les mêmes signes que ces premiers termes euxmêmes. C'est-à-dire les restes des séries (213. et 214,)ilg„^ «**•»-» ont les mêmes signes que leurs premiers termes dès 272 + 1 ss ou ;>jr dans (213.) et dès 272 + 2= ou >ar dans (214.)

m. Donc si Ton continue les séries jusqu'ù quelque terme positif dont l'exposant soit assez élevé pour donner 2/z + l= ou ]>;r dans la première et 2/2 + 2= ou ^x dans la seconde, les sommes de ces parties des séries seront nécessairement plus petites que les sommes des séries pri3es daiw toute leur étendue, les restes étant positif. Mais si on réunit encore les premiers termes des restes aux sommes des parties détachées des séries, de sorte que maintenant les premiers termes des restes soient néjgçtifs, les signes des termes allant toujours en alternant^ les sommes des parties détachées des séries seront nécessairement plus grandes que celles des séries entières, les nouveaux restes étant négatifs.

SI au contraire on continue d'abqrd les séries jusqu'à quelque terme négatif d'un exposant assez élevé pour donner 2/2 + 1 =s ou ^x dans la première et 2/2+2 = ou ^x dans In seconde, les sonunes de ces parties des séries seront, par des raisons semblables, plus grandes que les sommes des séries prises ^ans toute leur étendue, et plus petites si Ton réunit eiicore aux parties détachées des séries les prepiiers teimeai des restesr

D<mc les sonmMs des séries (213. et 214.) swont oomprises dans tous les cas entre celles des termes qui précèdent les restes R^,,^ et R^^^ , X étant respectivement = ou <C2/i+l et =s ou •<2/i+ 2, et celles des

74 §• 32. form. 217. — 220. V. AppUcaiion de la êérie g/néraU

mémai tormes révam ans: premien tennes dm restes» Donc zéfo et les valeurs des pMnûen termes des restes seront des limites pour les valeurs des restes^ c'est-à-dire

217. Rw^ dans (213.) sera entre et ±2-5 2^5 2/2+1 ^tant = ou >jr, et

218. iî»,-.i dans (214.) sera entre et ± j-g (2n+i) ^ ^'^'^"^ *^* = ou> jr.

Les valeurs des restes des séries (213. et 214.) seront donc comprises entre celles des valeurs de leurs premiers termes qui ccMrrespondent aux plus grandes et plus petites valeurs de x depuis zéro jusqu'à x. Donc le théorème général sur la convergence des séries a lieu également ici.

IV. Si nzsoo les quantités ± =r-ô tt- ©t ± 0-5 7n — rT\f ^n vertu

de ce qui a été démontré ($• 28. yi.)^ seront zéro; donc dans ce cas les limites des valeurs des restes (217. et 218.) sont zéro toutes les deux. Donc les restes eux mêmes seront nuls. Et puisque 2/i-f-l et 272 + 2 peuvent être toujours plus grands que x, quelque grande que soit cette quantité 9 on voit que les séries (213. et 214.) seront toujours convei^entes pour une valeur quelconque de x.

T. Si jr<[l ou = I9 les expressions des restes (217. 218.) seront déjà applicables aux séries (213. 214.) dès leurs premiers termes^ puisque dans ce cas 2/2 + 1 et 2/2 + 2=: ou >> or même pour /is=0. Elles le seront â plus forte raison si des séries ou prend plus d'un terme. Donc, X étant supposé = 1 , on trouve que

219. CO8 i est entie i et 0, entre 1 et l--|=s$, entre 1— §= i et 1— 1+ ^ = J| etc. 820. sinl entreOetl, entreieti-^=i,eiitrei.^=^eti-^+5:^=:||Jetc.

Tl. Les expressions (217. et 218.) des limites des restes des séries (213. et 214.) font voir à la vérité que ces limites varient suivant la loi de continuité avec x en même téms; mais il n'est pas démontré par là que les restes eux-mêmes varient suivant cette même loi; et encore moins que tandis que par ex. x augmente^ les restes augmentent paiement; il se pourroit au contraire qu'ils allassent alternativement en crpissant et en diminuant. En e£Pet il seroit possible que Taugmentatioo des tœmes dont les signes sont égaux l'emportât alternativement

de développement mix fendions angulaires. $. 32. farm. 221. — 226. 7S

8iir cette des termes à signes opposés* Il nous importe, comme oo le Terra par la suit^ de dëdder cette question^

Si X exprime un nombre fractionnaire ou irrationnel quelconque, positif et plus petit que x^ deux valeurs successives de x, si cette quantité va en augmentant, pourront être reprësentëes par A jet et x. Cela posé, la variation de la somme de deux termes consécutifs de la série (213.) swa

et celle de la somme de deux termes consécutifs de la série (214.)

- o:S.+3) u2.+2)ff.+3)a-»--)-'(.-i--)).

Supposons dans (221.) 1— A«^<it(l— O- Cela donne 1— X*'*+ X^»(l— A*) ^k(i—hr) et en divisant par 1— A*% comme cela est permis, 1 — V*

étant positif, 1 + X** — js;<^> ^^ ^^^^

Faisons semblablement 1— \**+»<;t,(l— ^•*^') dan» (222.)- C«l» donne 1 — X*"+' + A«»+'(l— A*)<;fc»(l— T^*"*') et en divisant par 1— X»^',

Puisque X est positif et <1, X»» et X*»+» sont <t, et 1+X est<l+X+X*....+X*^» < 1+ X + X*. . . . + X»" ; donc les sommes des termes à gauche dans (223. et 224.) seront moindres que 2 et <m satisfera axa. expressions (223. «t 224.) pour toutes les valeurs possibles de X et pour toutes les valeurs que -peut avoir n depuis 1 jusqu'à c», en supposant k et Art = 2. Donc on aura toujours