l-r+'<2(l^i*^ et

70 f. 32. fomu 227. et 228. K. AppUoaiion de la $^rU gMràte

Cda &it voir que dans (221.)

227. (2n+l)(2n+2)(l-A*")-ar«(l-A»"+»)>[(2n+l)(2ii+2)-2*»](l-.X-) et dans (222.)

Supposons ap</i+l dans (227.) on aura 2j?^<2/i* +4/1 + 2, donc (2/2 + l)(2/i + 2) étant =4/2« + 6/2 + 2, (2/2 + l)(2/2 + 2)— 2x*>0 pour toutes les valeurs de n depuis 1 jusqu'à l'infini.

Supposons jc=ou <C^+1 dans (228.), on aura 2j? = ou<2/i*+4/i+2, donc (2/2 + 2) (2/2 + 3) étant =4/2»+ IO/2 + 6, (2/2+ 2)(2« + 3)~2:r»>0 pour toutes les valeurs de n depuis jusqu'à l'infini.

Mais 1— X*" dans (227.) et 1— A»"+* dans (228.) sont également toujours ^0. Donc dans (227. et 228.) les quantités a droite^ et 11 plus forte raison celles a gauche, seront toujours positives, sauf les conditions énoncées par les valeurs de x et /2. Mais ces quantités sont les fac*

*«»" ^« 2.3....C2»+2) «* 2.3....(2n.+ 3) ^"^ *« expression» des variatiens de la somme de deux termes consécutifs des séries (213. 214) pré-sentées (221. 222.). Donc ces variations auront nécessairement les me-

mes signes que les quantités 2.3....(2«+2) «* 2.3....(2n+3) > «" ^'^"^ que les premiers des deux termes choisis. Et puisqu'il en est de même, et successivement toujours a plus forte raison, de tous les couples de termes qui suivent, et que les premiers termes de ce couples 01^ tous les mêmes signes, on voit que les sommes des variations de tous les termes des séries, dès les premiers termes des restes, auront les mêmes signes que ces pre-* miers termes eux mêmes, c'est-à-dire que les variations des restes des séries auront les mêmes signes que celles de leurs premiers termes. Donc les valeurs absolues des restes des séries augm^itent suivant la loi de continuité si les valeurs absolues de leurs premiers termes vont en croissant, et elles diminuent si les premiers termes vont en diminuant, sous condition que dans (213.) a: soit <;/2 + let dans (214.) x = ou </2+l. Sous cette condition le théorème aura lieu respectivement pour toutes les valeurs de n depuis 1 et depuis jusqu'à l'infini.

YII. Si âp est ^ ou as 1 on a X'^n +1 pour 12 = 1. Donc le théorème (VI.) sera applicable dans ce cas aux deux séries dès leurs premiers

d€ devdoppement aux fim^Uonê angulaireê. , {• 33» fimu 229. -^ 234. 77

termm. Oa vmt donc que la diminution de eoêx va ^en croissant avec X en même tepis depuis xtssO jusqu'à x=^iy le seoond terme -j- de la 8ërie(213.) ëtant négatif. Donc si x augmente dq>uîs jusqu'à 1, le cosinus diminue depuis 1 jusqu'à une certaine quantité qui suivant (210.) est entre | et ||* Le sinus va en croissant avec x en même tems^ son premier terme étant positif. Six augmente depuis jusqu'à 1^ le sinus augmente depuis jusqu'à une certaine quantité qui suivant (220.) est entre i et iîè* D'ailleurs les variations du cosinus et du sinus, dont il s'agit, ont lieu en même tems avec celles de^^r, suivant la loi de continuité.

Ajant trouvé les propriété principales des séries (213. et 214.): voyons ce qu'on en peut tirer d'ailleurs.

I. En premier lieu il 7 a à observer que, puisque les séries (213. et 214.) ne donnent qu'une seule valeur de la quantité e=^(212.), il &ut pour avoir les autres valeurs, multipKer par 1^^ les quantités à droite dans (212.)* De là on tire les expressions complètes de e^^ savoir