sîn(2/zar + a7) = sînjr

Les expressions analogues pour les valeurs négatives de ^p et y se trouvent à Taide des équations (237. et 238.).

Les expressions présentées dans le paragraphe précédent offrent connneon voit les principales formules trigonométriques ou plutôt goniométriques^ desquelles on tire sans difficulté les autres de ce genra.

Les formules (§. 33. 1. jusqu'à YII.) ont êb6 tirées seulement de à&ïx. CKpressions (220. et 230.) et en démontrant ces dernières, le développement de e-"" en série (212.) ne nous a servi que pour faire voir que la quantité e^"" est composée de deux parties, Tune réelle, Tautre imaginaire. La forme de la série (212.) n'est pas entrée dans le calcul des

expressions' (§.33. I YII.). Ce n'étoit qu'en ($.33. TIII.) où nous

avions besoin des résultats de la recherche des séries (213. et 214.), savoir pour fioâre voir qu'il existe une valeur de x telle que cosarssssinor, d'oà l'on a tiré les résultats de ($. 33. Ym.).

Au reste les expressions fondamentales de la goniométrie présentées (§• 33.) ont été trouvées par une voie purement analytique. On est parti de l'expression (212.), qui de son côté est sortie des transformations idra^ tiques. On n'a eu nulle part recours à la géométrie ni à d'autres théo^ rèmes et idées étrangères à ranalyse. Cela fait voir hi&a clairement que la théorie des fonctions angulaires n'est nullement du domaine de la géométrie mais purement de celui dé l'analyse aussi bien que la théorie des puissances ou des logarithmes. H est bien singulier qu'ordinairement on tire de la géométrie la théorie des fonctions angulaires. On pourroit procéder également et aveo le même droit pour les logarithmes. Mais c'est ce qu'on ne &it pas. Le logariUime naturel exprime, comme on sait, l'aire de l'hyperbole; c'est pourquoi on l'appelle logarithme hyperbolique* De l'hyperbole c'est l'aire qiu donne le logarithme, du cercla c'est l'arc qui offre les fonctions angulaires. On abandonne, comme il le

de développement aux fonetiom anguhnreê* §• 35. form. 259, —262» gl

faut le logarithme è Vmaiywèy mais on donne les fonctions angulaires à la géométrie sans la moindre raison. Cela est évidenmienf contraire â une bonne méthode. H est vrai que la géométrie participe aux résultats de la théorie des fonctions angulaires comme h celles des logarfthmes. Elle fait voir que le logarithme exprime effectivement Taure de Thyperbole, et c'est à elle de faire voir que si x représente un arc de cercle, les droites qu'on appelle sinus et cosinus dans la géométrie ont les mêmes rapports  x qu'expriment les équations (213, et 214.). Mais pour cela il n'y a pas de raison pour tirer ces relations des théorèmes de la géométrie, ni pour le cercle ni pour Thyperbole.

Nous tirerons des expressions du ($. 33.) celles des différentes valeurs que peut avoir une puissance quelccmçpie de l'unité, parcequ'il j aura quelques remarques à faire, tant sur ces expressions que silr l'effet de la pluralité des valeurs des puissances.

Elevons à la puissance ni^'' les expressions (229. et 230.), nous aurons