e^'*"* ss l^^(co8(mJC+2«7i) + i8in(m«-f 2ii

Donc en égalant les expressions (271. et 272.) de la quantité e^^ on trouve

273. C08 (inx4-2m/i«) + isin(wia?-j-2/n7zii) = .co8(?îîa7+2/i^)+ i sin (ma?+2nn),

équation évidemment confa*adictoîre^

La ccmtradictioo vient de ce que la quantité eoBm(x'\'2nit) ± isïsïm{x'^2n'n) dans (271.) qui est jcelle à gauche dans (273.) ^siprime toutes les valeurs diffiérentesde la quantité {i>OB{x^2nv)±imk(x^2nv)y' (270.) qu'elle représente^ ou bien de celle (cos«r+ /sinjr)^ qui liu est égale, tandis qu'au contraire la quantité cos {mx'^2n^) + i sin (m jr 4- 2 /i «) dans (272.) qui est celle A droite dans (273.) n'exprime qu'une seule valeuri. Veut- on que la dernière représente également toutes les valeurs diffi^'entes qui existent^ on la multipliera par 1*^=5 cos2m/Z9r4:/siii2m/i7r (262)^ Cette, opération laite, les expressions (271. 272«), s'accorderont comme il est aisé de voir à l'aide de l'équation (2M.)y 2n% dans (272.) pouvant être supprimé sans changer la Tdeur de reii^resskMM

lY» Dans le cas â? = 2nic les expressions (229« ;230.)> savoir é^^z=zl±^(cosx±iAïx) présentent une diffiaulté particulière. Car dans ce cas on a cosarss cos2/iôr es 1 et 8in^ssaiii2/2w=0^ donc les ex-

84 $• ^- /'''^ ^'^** -^ ^^' ^' ApftiGaiion de la série générale

pressîoiis dtëe» se réduisent à

et cette expression à la première vue semble être contradictoire ^ car en prenant les puissances +2//2 7r'"^* de deux côtés on trouve

et cela est évidemment £biux# Cette difficulté pourra^ a ce qui! smible, ^re détruite également en faisant attention à la pluralité des valeurs*

En effet les expriessions e±**"^ et l-*^'^ ont la propriété de présenter ^ au moyen du nombre arbitraire n qui y entre ^ toutes les valeurs que peuvent avoir les quantités é^^^ et 1±"*^, car le facteur cosj? + /sinar de l'expression générale (229. 230.)^ si l'on j fait a:=z2niFy est toujours! pour une valeur quelconque de /z. Mais suivant la règle générale on a les valeurs différentes d'une puissance^ en multipliant une quelconque de ses valeurs^ par ex. la valeur réelle, s'il j en a^ par la puissance de l'unité, qui a pour exposant celui de la puissance même* Ici les quantités ^wiTT ^f. i±^7t ^^^ effectivement uûe valeur réelle, savoir celle qui correspond à b valeur zéro de /2. EUe est ^:=sV:=zt. Donc on peut, ou plutôt il faut exprimer é^=^^ et 1±»^ par tfM±«'"^ = 1 . 1±«''>^ et par lo^l±9inn^l^l±^nn^ j^ g^^^ quo l'équatîon (274.), en ayant égard a la pluralité des valeurs, ne veut dire autre chose que

et cette équation identique n'implique point de contradiction.

Voyons maintenant d'où peut venir Terreur qu'offire l'équation (275.) quB exprime la ±2i/29r"'^ puissance de l'expression (274.) ou (276.). L'équation (274.), dans la forme où elle est, n'exprime qu'une seule valeur des quantités ù droite et à gauche, savoir celle qui convient ù /z = 0, Si Ton veut qu'dle donne toutes les valeurs différentes, qui ont lieu, il lui faut donner la forme (ft76,). Mais elle laise indéterminées les autres valeurs dans cette forme, puisqu'dle est identique» Ces autres valeurs viennent au jour en prenant la puissance +2//z9r. Même l'équation (275.) n'est pas fiuitive dans le cas /isO, Elle ne Test que pour les autres valeurs de a et la raison en est, qu'elle n'exprime pas complètement toutes les valeurs qui existent* En effet on ne peut pas dire que