cos(+Unvn^) :=: 1 + ^ ^ ^ +L-^^+ ^^^ J^ +.... et

282. sin(±4inV7t^) = +iinV7i^ ^1 + ^—273—+ 2.3.4 +"*7 ' Cela donne en vertu de (280.)

Mais en vertu de (189.), en ne manquant pas de multqplier comme il feut par la puissance de l'unité, pour avoir toutes les valeurs qui peuvent avoir lieu, on a 284. ^-» = l---(l-4«v««+^iiirî!I'^(i^^^

et si l'on substitue la valeur de l^^"" (283.) dans cette équation, on a

et oela s'accorde avec (279.) de sorte qu'il n'y a plus de contradiction*

Yé La difiSculté, que dans ce qui précède l'équation (279.) semUe présenter par ce qu'elle a une quantité imaginaire è^ droite sans en avoir ù gauche, n'est qu'apparente. La puissance t^^^ à exposant imaginaire, qui j entre, n'offire point de quantkéa imaginaires; il feiudroit pour en pro-

86 §• 3^* form. 286. — 291. V. ^ppiication de la sMe générale

«Itiîre un exposant rëel des pinssanceg de Vwrnt^^ oamme le fait voir (262.). Toutes les valeurs de t^^^^^ suivant (283.)9 sont réelles; donc il n'y a pas dans (270.) des quantités imaginaires autres que oelles qui viennent de j-*i.r;r» p^^p ^^m* ^ L'équatîon (28a.) donne toutes les valeurs que t*"^*"^ peut avoir pour les valeurs diflPërentes de v* Si dans Téquation (279.) on ne fait attention qu'aux valeurs réelles de ^"''* pour les différentes valeurs de v^ elles peuvent être exprimées par

d'où l'on voit, qu'elles sont toutes entre 1 et 0, e^ étant 1 et er* =0. YI. L'équation (278.) semble présenter une autre diflîciilté. Car en développant la quantité e-^^ en série suivant (189.), il semble que sa valeur soit composée d'une partie réelle et d'une autre imaginaire, et cela seroit en contradiction avec ce que donne l'équation (283.), suivant laquelle la valeur de la quantité 1^'^'', égale à e^'^'' (283.), est toute réelle. Mais la difficulté n'est également qu'apparente. En effet en développant e-^"" suivant (189.), l'expression

n est pas complète. Pour la compléter SI faut la multiplier par 1-*'"'^ et cela donne

Pour mettre en évidence les diff^entes valeurs de e**'"*^ que cette é<{ua« tion présente, <m ne peut que séparer des autres la valeur réelle de ^i*'"^, pour la multiplier après par ii«*"\ Cette valeur réelle correspond à n =: 0, donc elle est 1, suivant (287.) et suivant rex[)ression e^^"" elle même, et ou a