u^zsu^A

Divisant cette équation par u\ on aura

Mais la valeur de 1^ n'est pas bornée ù être toujours l'unité; car si par ex. A = i, de sorte qu'en vertu de la première équation fondamentale l*.l* = l*.l^ = r = l, la quantité 1^ a les deux valeurs difiFérentes +1 et — 1, puisque les produits +1.-|-1 et — 1. — 1 sont également = 1 tous les deux. Si ^ = i, de sorte que lM^l* = l*.l*,l*3=:t* = l, la

quantité 1* a trois valeurs différentes, savoir + 1, ' ^^^ ^ et ——5 — —9

comme on le peut faire voir à l'aide de l'addition et de la multiplication seulement. Ces trois valeurs multipliées dhacune deux fois par elle même donnent également l'unité peur produit; et ainsi de suite.

Il suit de cette remarque, que la quantité u^ peut avoir également phis d'une valeur; car si cda n'étoit pas, la valeur de 1^, en vertu de l'équation (18.) ne pourrait être que l'unité dans tous les cas; résultat contraire a ce que nous venons de trouver.

propriet/s des puissances. }. 5» form* 19, 9

Nous ne disons pas que 1^ et u* auront toujours et nécessairement plus d'une valeur; nous faisons voir seulement qu'ils peuvent en avoir' plus d'une^ et cela suffit pour notre but.

Cela posé^ soient v^^ v^^ v^y • • • • les différentes valeurs que la

quantité u^ peut avoir ^ le quotient ^ représentera les quotiens suivants: 19, îii Hi Hi • . î!£ îii Î^L . îiî î!i ^ . pf ^

Nous dirons maintenqint en premier lieu^ que le nomlnre de^ valeurs de l'^ ne peut être moindre que celui des valeurs de u\ car^ supposé que u^ ait les n valeurs différentes v^y v^y v^y • p^. Vn^ les n quodens

—, —, -^, . ... — parmi ceux (ip.) qui tous, ^n vertu de l'équation (18.)

égalent 1\ donnent déjà n valeurs différentes pour cette dernière quantité.

Nous dirons en second lieu, que le nombre des valeurs de 1^ ne peut être plus grand que celui des valeurs de u^s car supposons, comme 01 -dessus, pour x^^ les n valeurs différaites v^j v^j v^'y . . • • v^ et pour l'^ les m valeurs 1,, I3, I3, • • • • 1^» ^ s'il ^t possible étant plus grand que /i, les m produits v^A^j v^A^y tJ^A^^ «••# t^fl^ parmi tous ceux qui en vertu de Téquation (17.) égalent z^, présenteroient déjà plus de valeurs que cette quantité ne doit en avoir suivant Tb/pothêse^

Donc 1^ ne peut avoir ni moins ni plus de valeurs que v^^j dono le nombre des valeurs de 1^ est égal u celui des valeurs de uK

Mais la même cbose ayant lieu pour une valeur quelconque de la bijase^ le nombre des valeurs de ft^ étant toujours ég^l A celui des valeurs de i^ c'est à dire à un même nombre pour une yaleur quelconque de du il suit de lu que le nombre d^s vjaleurs différences qu'une puissance peut avoir, ne peut dépendre de la valeur de la base. Mais, /excepté là base;, il n'existe pas d'autre quantité dans une puissance que l'eKposant; il faut donc que le nombre des valeurs diflBârentes ^'une puissance pent avdir^ dépende nécessairenxent de l'eicposfuit seuk Et en vertu de ce que nous avons démontré ci -dessus, ce nombre sera égal a celui des valeivs de 1^

Au reste, l'équation (17.) fSeSt voir que les différentes valeurs que la puissance u^ peut avoir, pourront être exprimées tentes pw u\ 1^ IhuiB cette expression le facteur u^ représente également toute valeur que eette quantité peut avoir. Si donc l'on adopte la notation \u\^ pour expimier

une Taleur dëterminëe qaekxm^iie p«nm oeDes ^i coro i eiuiflpt à la qoantité u\ on peut écrire

eà ]2i|^ représente indiflPéremment Tone on l'antre valeur de uK

La seconde équation fondamentale (4.) donne pour u^i^ / = ^9 21. (!»)* a= 1»*= (1*)».

Si /2 est un nombre entier positif^ la puissance 1% en vertu de (§• 4. TI.), est un produit de n facteurs égaux entre eux et à l'unité. La valeur de ce produit est toujours 1 , suivant la théorie de la multiplication, quel que soit n. C'est à dire 1" est toujours 1, n étant un nom-* bre entier positifi Si n est un nombre entier négatif, la valeur de l*" est encore 1 pour une valeur quelconque de n^ puisque en vertu de l'équation (8.) 1-^=-^. Si /i = 0, 1* ne cesse d'être 1, car en vertu de Téquati<m (7.) on a l^s 1. Donc si n est un nombre entier positif on négatif, ou bien zéro, 1" est toujours 1 pour un valeur quelconque de n^

En substituant cette valeur de V dans l'équation (21.) on a

Supposons maintenant le cas ou 1^ a plus d'une valeur, on voit que toutes les valeurs des puissances (1% (1*)% (1*)% .... (i^r*, (1*)"^, • . . . ne seront pas nécessair^nent égales mais au contraire elles seront différen-^ tes entre elles, car il n'y a que l'unité qui, muItipUée un nombre quelconque de fois par lui même, donne toujours la même quantité. Mais n étant arbitraire dans l'équation (22«)9 sous la seule condition d'être un nombre entier,;rexpression(l*)"représent«a toutes les quantités (1*)^ = 1, 1\ l^l*,

1*4M*, . • • . ^, jTTiEf FTîïTïX «» ïûême tems. Elle aura donc

nécessurement plusieurs valeurs différentes. Mais ces valeurs sœont précisément celles que 1* peut avoir, puisque cette quantité, en vertu de réquation (22.), s'exprime par (t*)\

On vent par là que les différentes valeurs que 1^ peut avoir, ont la propriété qu'on les trouve, ^piand on multiplie, ou divise continuelle» ment par elle même, une d'entre elles quelconque qui ne soit pas l'unité eUe même^ canune l'est par exemple celle (i}f.

prepHftéâ des puisêaneeâ. §• 7. form. 23« *— 25. H

Si donc »i une des différentes valeun quelconque de. 1^ qui ne soit pas 1) ces différentes valeurs seront

Parmi ces valeurs il se trouve nécessairement celle al =s 1, puûque n peut être également zéro^ quel que soit /i. Les autres sœont différentes entre elles et de 1»

Mais toutes les valeurs de 1^ ne sont différentes enfee elles ^ que dans le cas ou 72 iS: ne peut être un nombre entier positif ou négatif^ qud que soit n. Car à kn étoit entier on auroit (l^)**^ c'est à dire l^s=:l«

Si Ar est une fraction dont le dénominateur est m par ex* & = -7- ou 172

et X signifient des nombres entiers^ la puissance 1^ n'aura que A valeurs différentes^ savoir les valeurs

2A. U («*)% («*)% («*)% • • • • («*)^-^'- Car la valeur (a^Yy qui suit la dernière («0^^ n'est autee cbose qu»

IV = 1'»=: 1, C'est à dire la première des valeurs (24.)* Donc les valeurs (ajfc)^*=(ai)^(<»jt)',' (a*)^^=(«0^(»»)% • • • • qui suivent celle-ci égalent de nouveau les valeurs {aj^\ («j^* ^tc« et la même série des vft-

leurs (24.) recommence toujours* Les valeurs («it)^\ (p^iT^ •••• de (ai^ se trouveront également parmi ceUes de la série (24.) ^ car soient fi et 1^ des nombres entiers arbitraires et v<Cf^^ on a (a]^)^^=s((«j^^)^s= l^=i 1

aonc(ai)-^, ou bien 7^ (S.) =^^^=(«i)^*^% Idl'exposant ftA—vest^

\m nombre entier positif puisqu'on a supposé p<ftA; donc C**)"^ ^^ à dire («0^9 ^t une des quantités de la série (240« Donc la puissance 1^ n'a que X valeurs différentes entre elles dans le cas dont il s'agit.

Si^ pour abréger^ on écrit « au lieu de «j^ ou de 0^1 ^ on a a^ssi 1

on bien a^ — 1 s= 0« Puisquld X est un nombre entier^ la quantité a^ — 1 est ^visible par a — 1 et l'on tvoiir«