xY = 1 — A. + A',— A:3 . . . . ± A

La valeur de la série à droite est (1 — 1)* et cette quantité est toujours zéro, si h est positif. On voit de là, que la valeur dune faculté analytique, dont la base est zéro, est toujours 0 toutes les fois cpie l'exposant est positif, même s'il n'est pas un nombre entier. Cela complète le théorème (§. 13. ^11.).

IV^. Quant à la convergence de la série (385.) nous eu différerons la recherche. La série est ordinairement peu convergente. Mais on trouve ù sa place, en variant l'exposant, une autre série toujours convergente, eu prenant les logarithmes des facultés. Nous donnerons l'analyse complète de cette série dans le paragraphe suivant.

I. En prenant les logarithmes naturels ou hyperboliques ( §. 29. m. ) de la faculté (Uy -j" -r)* et en variant l'exposant y, la série générale de Taylor donne

389. log(^, +a-)--'' = log(«, +x? + A(|og(„, -f .r)^^Iog(^, + x)-)

+ ^— (log(//, + x)'''--2Iog(«, + xy+'' + log(,/,-h.ry)....+i?„.

Si dans cette exf)ression on fait y = 0 et la quantité arbitraire « :^ I^ on a, (u, +xY étant i (4G.) et de là log(u, +.r;"= 0,

390. log(y, +.r)* = A-.log(«, +^)'-fAr,Oog(«,+ -rr — 21og(«, -\-xy)

+ A-, Oog (tJ, + X)' — 3 log («, + x)^ + 3 log (//, -}- x)') . . . . ....+ A„(log(?/, -\-x)'—n,\og{u, +x)'-'+/?e'og(«, +x)'^'....±/?„., log(«,+x}')+i?,..

II. Dans cette expression le premier terme du reste E„ qui, commp terme générai, expnme tous les autres, est

106 5- ^^ form. 391. — 396. T^I. j4ppIicatioti clet fornnifes ^riit'ruitf

391 . r„+, = ;.-„+. pog ('f, + ^r+' — (^ + 1 ). log (^/, + x)"

+ ('^ + »). »og(^/, +^)"-^ . .. ± (« + 1), log(", + J-)']. Suivant (44.), n étant un nombre entier, ou a