log(,v,+x)^ = /„ log „ + /■-: !'.g (^"^ + A-Jog(i

C'est re\[)ressîon géiitTale d'une faculté analytique trouAée par la variation de lei-posaut.

III. Il s'agit niaiuteuaut do savoir si la série (399.) est convergente on non.

Suivant le théorème général de la convergence de la série générale de Taylor (§.21.) la série (399.) sera convergente, si aucun de ses termes n'est ni imaginaire ni infini, et si les valeurs que prend le premier terme T„^^ du reste i?„ pour la plus grande et la pius petite valeur <1g

— . ^ -^ depuis y jusqu'à 7 + A-, sont zéro toutes les deux pour n = rc.

Si l'on suppose réelles toutes les quantités qui entrent dans (399.), aucun ternie de la série ne sera infini. Donc les conditions de la convergence de la série se rédiusent à celle, que les valeurs <jue prend T„^^ pour

la i)lns grande et la plus petite valeur de — ;;:^ depuis y jusqu à y -f /r doiveut être zéro pour n = cx.

Ici la quantité — ^q:^^ est celle qui dans le premier terme du reste E,, dans (389.) multiplie — ^^ ,j-^

savoir

+ log [u, -i- x/

ou l)ieu, lu «juantîto arbitraire a. a3'aut été supposée = i .

108 §. 43, form. 401. — 404, VI. Ap^licaiion des formules généraicf

401. A''^'Fr = log („, +x7+"+' -(n+ 1). log (,/, +0.)'+' + („ 4- 1)^ log (,z, +:r; +"-... .

. . . . + log ((/, +077.

Mais en vertu de la première équation fondamentale des facultés (38.) on a

' („, 4- :ry +'■+' =(,/,+ x)'- (« + A-.r, + ccT+\

'(,/,+a-y+'' = (u,-\-œy{u + ky,+a:y,

{u, + 077+"- = {u, + x)^ (,, + le y, + x)'-'.

Jonc, en prenant les logarithmes,

A-'+'Fy = (l-(n+l), + (;.+l),....±t)log(».+x/

±(«+l)i log [u-i-xy, +Jt7)'

OU bien 1— («+lX + (/2 + l),....±l étant = (l— !)"+■ =0,

403. A'"+'ivr = log(u+a::,-,+x)''+'-("+l)x log(«+ar,-,+x)''+(«f 1)^ \og{u-\-xy,-\-x)'-\...

±{n + i)nloi{u-{-xy,-i-xy.

et il s'agit de la plus grande et de la plus petite valeur que cette quantité prend pour les différentes valeurs de y depuis y jusqu'à y-]-k, ou ce qui est la même chose pour les différentes valeurs de u depuis u+xy jusqu'à u-\-x(y-\-k).

Mais nous avons fait plus haut y = 0. Donc il sagit de la plus grande et de la plus petite valeur que prend la quantité A'"^'Fy (403.) pour les différentes valeurs de u depuis u jusqu'à u-{-kx.

La valeur de A''+'Fj (403.) pour « = « est celle qui dans (391.) multiplie A-„+i et qui se réduit à celle (397.). Donc enfin il s'agit de connoître la valeur de 7],+, (398.) pour les valeurs différentes de u depuis u jusqu'à u-\-kx et pour « = 00. Si cette valeur est zéro, la série (399.) sera convergente, et elle ne le sera pas si T„^^ n'est pas zéro.

IV. L'expression de —^ représentée sous la forme (398.) a évidemment un nombre égal de facteurs dans le numérateur et dans le dénominateur du logarithmande ; car le nombre des facteurs dout se compose le numérateur est 1 + n, + «*•••• > 6t celui des facteurs du dénominateur est n^-{-n.-\-n.-,..,. et on a

puisque

de dcveloppemenl des /onctions aux facuUcs analytiques. \. 43. form. 405. — 408. 109

Donc on peut diviser tous les logarithniandes des termes de -^

(397.) par une quantité quelcoutpie, sans diminuer ui augmenter la valeur de —^i et au lieu de (397.) on peut écrire

ou bien, si pour abréger on fait — + n -|- 1 = X,

406. ^^ = logfA— t)— n,I<)g(Â — 2)+n^loga— 3)....+Iog(;. — (n-f-l,).

Mais par la même raison on peut diviser tous les logaritbmandes de cette expression par K Donc on peut aussi écrire

*«'• lî; = ">s('-|)-''.'°?('-|)+"='°8('-4)--±'»."(<-4')-

Tous les logaritbmandes de cette expression seront ]>0 et <C1 si Â}>/2-}- 1, c'est- à -dire si — est positif, ou bien si u et x ont le même signe. Donc, sous cette condition, ou pourra développer tous les logaritbmes de la série (407.) sui\aut la formule (210. §. 29. ^TI.) qui, comme il y a été démontré, est convergente dans les cas actuels. On trouve

En stibstituant ces séries dans (407.) ou a

1 10 5- 43. form 409. — 411. /7. Application des formules g^ncruU-s 409. —t"-^ = 7 (^-".2 +n,3 -n,4 + /7^..n +«+1)

Ici les séries à droite, comme il est aisé de voir, expriment les ;.'■"*• diUV'reuces des nombres naturels 1, 2, 3, . . . , n-\- i et de leur dillerentes puissances à l'infini. Les valeurs de ces différences jusqu'à le {n — !)"'• sont, comme ou sait, zéro, c'est-à-dire ou a

pour toutes les valeurs de fx depuis 1 jusqu'à n — 1. Donc l'expression (409.) se réduit à

(n+lj/.

11 est vrai qu'ici les séries à droite ne sont pas zéro; mais leur» valetirs seront nécessairement plus petites îjuc; celles de leurs derniers termes (n+1)", («+1)'+', (/z+i)""^', ■••. car toutes les diiférences de //""", {n -j- 1)"**, (n-j- 2)""*' etc. puissances des nombres naturels ï, '2, '6, .. .. n-\- i sont évidemment plus petites que la puissance du plus liant nombre elle même, puisqu'on les trouve toutes en soustrayant <les nombres plus [)etit>t des nombres plus grands, et qu'elles sont d'ailleurs toutes positives. Donc

la Taleur abiiolue de -rr^ ue pourra être plus graiule que celle de ki quantité

ae oi-feloppemerii des fondions aux factiU^s analytiques. \. 43. form. 412 — 415. 1 1 1 c ost - i"; - (lire do la quantité