r„+i = 0 pour 71 = oo

sous condition que « et a- ont des signes égaux et que k soit plus grand que — 1. Enfin, puisqu'on a également T„j^^-=0 pour une valeur quelconque de «, les deux valeurs de T^n+i (III.) qni déterminent la convergence de la série seront zéro en même tems, n étant supposé -x). Donc la série (399.) sera convergente sous les conditioas que nous venons dénoncer.

V. Les logarithmes qui entrent dans la série (399.) ont été supposés de ceux qu'on appelle naturels ou hyperboliques. 3Iais puisque les termes de la série sans exception contiennent tous également des logarithmes, on pourra multiplier toute la série par le module de tel autre système de logarithmes qu'on voudra. 3Iais par là les logarithmes naturels se réduisent à d'autres du nouveau système. Donc la série (399.) aura également lieu quel que soit le système d'où l'on tire les logaritlune» qu'on veut introduire.

■NI. Le terme à gauche dans (399.) t-t le premier terme ù droite peuvent être mis sous la forme

■fli(> K 43. form. 416. — 420. ?T. Application des formules gcrii'inles

Ces facteurs des loi^arhli mandes de tous les autres termes à droite, comme nous l'avous vu [dus haut, peuvent vtve dhisés par x en haut et eu I)as, sans tlian<'er par là la valeur des termes. Lell'et de cette dernière opération est, que partout — prend la place de « et 1 la place de .r. Donc, si au lieu de — ou veut écrire A, loxpression (399.) se réduit à

416. log(A, + l/ = /nlogK+A%Jog-^+;,3log— -jy+Ar,log-^^--....

et cette expression, comme Ion voit par la manière dont la réduction de (399.) a été exécutée, est aussi générale que celle (399.). Si Ion fait K=l dans (416.) on trouve

417. log(l, + l)' = A'.log2 + A,log| + A-.logia + A'Jog|§5f .... + ^.•

VII. Les coiifficiens de A„ dans (399. et 416.) n'étant autre chose que les différences (n—1)""' des logarithmes de u-\-{n-l).r, u+^n-Qy, .... « et de X+^ — 1, ^ + " — 2, ....A, les séries (399. 416. et 417.) pourront aussi être présentées sous la forme suivante